Question

Como resolver os sistemas de equações: 
 a) 1/x-y + 1/x+y = 3/4 

      1/x-y - 1/x+y = -1/4 

  

Answer 1

$\begin{cases} \frac{1}{x-y}+ \frac{1}{x+y}= \frac{3}{4}~(I)\\\\ \frac{1}{x-y}- \frac{1}{x+y}=- \frac{1}{4}~(II) \end{cases}$

Vamos usar duas variáveis auxiliares, $\frac{1}{x-y}=a~~~e~~~ \frac{1}{x+y}=b$:

$+\begin{cases}a+b= \frac{3}{4}~~(I)\\ a-b=- \frac{1}{4}~~(II) \end{cases}\\ ~~~~------\\ ~~~~~~2a~~~~= \frac{1}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~a~= \frac{1}{4}$

Se a vale 1/4, podemos substituí-lo em uma das equações, por exemplo na equação I:

$a+b= \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{4} +b= \frac{3}{4}\\\\ b= \frac{3}{4}- \frac{1}{4}\\\\ b= \frac{1}{2}$

Retomando a variável original, e multiplicando cada equação, em cruz, temos que:

$\begin{cases} \frac{1}{x-y}= \frac{1}{4}\\\\ \frac{1}{x+y}= \frac{1}{2} \end{cases}~\to+\begin{cases}x-y=4\\ x+y=2\end{cases}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-----\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2x~~=~~6\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=6/2\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=3$

Se x vale 3, podemos usa-lo em uma das equações e obtermos y, vamos na equação II:

$x+y=2\\ 3+y=2\\ y=2-3\\ y=-1$

Portanto a solução do sistema será:

$\boxed{S=\{(3,-1)\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))