Question

Escreva a Equação geral da reta .
a) A(-2,-5) e B(3,1)
b) A(-1,6) e B(-3,-4)

Answer 1

Dados dois pontos $A(x_{_A},\,y_{_A})$ e $B(x_{_B},\,y_{_B}),$ podemos obter a equação da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ a seguir:

$r:~\dfrac{y-y_{_A}}{x-x_{_A}}=\dfrac{y_{_B}-y_{_A}}{x_{_B}-x_{_A}}~~~~~~(\text{com }x_{_B}\ne x_{_A})$


Observe que o lado direito da equação acima é justamente o coeficiente angular $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ da reta $r.$

Podemos reescrever a equação assim:

$\boxed{\begin{array}{c}r:~y-y_{_A}=\dfrac{y_{_B}-y_{_A}}{x_{_B}-x_{_A}}\cdot (x-x_{_{A}}) \end{array}}~~~~~~(\text{com }x_{_B}\ne x_{_A})$

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a) Para os pontos $A(-2,\,-5)$ e $B(3,\,1),$ a equação da reta é

$r:~y-(-5)=\dfrac{1-(-5)}{3-(-2)}\cdot \big(x-(-2)\big)\\\\\\ r:~y+5=\dfrac{1+5}{3+2}\cdot (x+2)\\\\\\ r:~y+5=\dfrac{6}{5}\cdot (x+2)\\\\\\ r:~y+5=\dfrac{6}{5}\,x+\dfrac{12}{5}$


Multiplicando os dois lados por 5,

$r:~5\cdot (y+5)=5\cdot \left(\dfrac{6}{5}\,x+\dfrac{12}{5} \right )\\\\\\ r:~5y+25=6x+12\\\\ r:~0=6x+12-5y-25\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~6x-5y-13=0 \end{array}}$

( equação geral da reta $r$ )

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b) Para os pontos $A(-1,\,6)$ e $B(-3,\,-4),$ a equação da reta é

$r:~y-6=\dfrac{-4-6}{-3-(-1)}\cdot \big(x-(-1)\big)\\\\\\ r:~y-6=\dfrac{-4-6}{-3+1}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y-6=\dfrac{-10}{-2}\cdot (x+1)\\\\\\ r:~y-6=5\cdot (x+1)\\\\ r:~y-6=5x+5\\\\ r:~0=5x+5-y+6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~5x-y+11=0 \end{array}}$

( equação geral da reta $r$ )


Bons estudos! :-)