Question

O coeficiente x³ do desenvolvimento de (3x-1/x)^5 (resposta -405)

Answer 1

A fórmula do termo geral de um termo do Binômio de Newton é:

$T_{k+1}=(-1)^k\left(_k^n\right)a^{n-k}.b^k$

Veja que neste desenvolvimento n=5, a = 3x   e b = 1/x

Vamos substituir na fórmula:

$T_{k+1}=(-1)^k\left(_k^5\right)\frac{(3x)^5}{(3x)^k}.\frac{1^k}{x^k}\\ \\ T_{k+1}=(-1)^k\left(_k^5\right)\frac{243x^5}{3^k.x^k.x^k}\\ \\ T_{k+1}=(-1)^k\left(_k^5\right)\frac{243}{3^k}\frac{x^5}{x^{2k}}\\ \\ Logo:\\ \\ x^{5-2k}=x^3\\ \\ 5-2k=3\\ \\ 2k=2\\ \\ k=1\\ \\ Logo \ k+1=2$

Logo devemos determinar o coeficiente do segundo termo:

$T_{k+1}=(-1)^k\left(_k^5\right)(3x)^{5-k}.(\frac{1}{x})^k\\ \\ T_{1+1}=(-1)^1\left(_1^5\right)(3x)^{5-1}.(\frac{1}{x})^1\\ \\ -1.5.3^4.x^4.\frac{1}{x}\\ \\ -5.81.x^3=-405x^3$