Question

Quantos termos serão necessarios ter a P.A 7,19,31 para que a soma seja 392

Answer 1

PA: an = a1+(n-1)* r 

an = 7 + (n-1)*12 
an = 7 + 12n - 12 
an = -5 + 12n 

392 = (-5 + 12n + 7) * n/2 
784 = 2n + 12n² (: 2) 
392 = n + 6n² 

6n² + n - 392 = 0 

d = 1² - 4*6 * -392 
d = 9409 

x = (-b +/- \/d) : 2a 
x = (-1 + / - 97) : 2*6 
x' = (-1+ 97) : 12 
x' = 96 : 12 = 8 
Resposta: São necessários 8 termos.

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para determinar o número de termos da PA (7; 19; 31; ......) para que a soma dos termos seja 392.

Antes veja que o termo geral de uma PA é dada por:

an = a1 + (n-1)*r

Note que a PA da sua questão, temos que o primeiro termo é "7" e que a razão é "12" (pois 31-19 = 19-7 = 12). Assim, substituindo-se na fórmula do termo geral acima "a1" por "7" e "r" por "12", teremos:

an = 7 + (n-1)*12
an = 7 + 12*n - 12*1
an = 7 + 12n - 12 ---- ou, o que é a mesma coisa:
an = 12n + 7 - 12
an = 12n - 5  <--- Este é o valor do último termo (an) em função de "n".

Agora vamos à fórmula da soma dos termos de uma PA, que é esta:

Sn = (a1 + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "392", pois a questão informa que a soma dos termos deverá ser 392. Por sua vez, substituiremos "a1" por "7" (que é o 1º termo da PA); e finalmente, substituiremos "an" por "12n-5", que é o valor do último termo, conforme encontramos acima.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

392 = (7 + 12n-5)*n/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
2*392 = (7 + 12n - 5)*n
784 = (7 + 12n - 5)*n ---- vamos ordenar o que está dentro dos parênteses, ficando:

784 = (7 - 5 + 12n)*n
784 = (2 + 12n)*n --- efetuando este produto, teremos:
784 = 2n + 12n² ---- vamos colocar 784 para o 2º membro, ficando:
0 = 2n + 12n² - 784 --- vamos apenas ordenar e inverter, ficando:
12n² + 2n - 784 = 0 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos:

6n² + n - 392 = 0 ---- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

n' = - 98/12 = - 49/6 (após dividirmos numerador e denominador por "2")
n'' = 8

Agora veja: o número de termos não poderá ser negativo. Logo, descartaremos a primeira raiz (-49/6) e ficaremos apenas com a segunda raiz, que é:

n = 8 <--- Esta é a resposta. A PA da sua questão deverá ter 8 termos para que a soma dos seus termos seja igual a 392.

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver qual será essa PA, com os seus 8 termos:

(7; 19; 31; 43; 55; 67; 79; 91) <--- Esta é a PA. E veja que a soma é, realmente igual a 392. Veja:

S = (a1 + an)*n/2 ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
S = (7 + 91)*8/2
S = (98)*4 --- ou apenas:
S = 98*4
S = 392 <--- Olha aí como é verdade.
 
É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.