Question

a figura abaixo ilustra um jogador de basquete no momento em que ele faz um arremesso bem sucedido. A bola, ao ser arremessada, está a uma distância horizontal de 6,0m da cesta e a uma altura de 2,0m em relação ao piso. Ela sai das mãos do jogador com velocidade de módulo 6 raiz quadrada de 2 m/s fazendo um angulo de 45° com a horizontal. A cesta está fixada a uma altura de 3,0m em relação ao piso. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) A altura maxima atingida pela bola em relação ao piso.
b) o intervalo de tempo entre o instante em que a bola sai das mãos do jogador e o instante em que ela atinge a cesta

Answer 1

Devemos decompor a velocidade inicial em duas componentes. Será ($v_{y}$) a componente vertical, isto é, a velocidade que modificará a posição da bola verticalmente, e que, por conseguinte, sofrerá ação da gravidade; e a componente horizontal ($v_{x}$), a qual será responsável por modificar a posição da bola horizontalmente(veja a imagem):
Sabemos que:
$v_{x}=v_{o}*cos(\alpha)$
*Onde $\alpha$ é o ângulo formado com a horizontal
E que:
$v_{y}=v_{o}*sen(\alpha)$
Como a velocidade que modifica a altura é $v_{y}$ e graças a aceleração gravitacional o movimento será uniformemente variado, temos:
$s=s_{o}+v_{o}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$
Nesse caso:
$h=h_{o}+v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2}$
*O sinal ficou negativo, pois como a aceleração gravitacional está contra o movimento, ela é dada com sinal contrário ao da trajetória;
**$h_{o}$ é a altura inicial, neste caso, a altura em que a bola foi arremessada (isso é diferente da altura máxima que a bola adquire), que vale 2,0 m;
O único problema desta equação é que não temos o $t$, mas podemos encontrá-lo. Lembremos que:
$v=v_{o}+\alpha t$
Como no ápice a altura, a aceleração inverte o movimento, isto é, a bola sobe e após uma pequena pausa ela desce. Então:
$v_{o}+\alpha t=0$
$t=\frac{-v_{o}}{\alpha}$
Transferindo as variáveis:
$t=\frac{-v_{y}}{-g}$
Negativo com negativo = positivo
$t=\frac{v_{y}}{g}$
Agora vamos colocar na primeira equação:
$h=h_{o}+v_{y}(\frac{v_{y}}{g})-\frac{g(\frac{v_{y}}{g})^{2}}{2}$
$h=h_{o}+\frac{v_{y}^{2}}{g}-\frac{v_{y}^{2}}{2g}$
$h=h_{o}+\frac{v_{y}^{2}}{g}(1-\frac{1}{2})$
$h=h_{o}+\frac{v_{y}^{2}}{g}$
$h=h_{o}+\frac{v_{o}^{2}sen^{2}(\alpha)}{2g}$
$h=2+\frac{(6\sqrt{2})^{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{20}$
$h=3,8$ m

Note que fiz do jeito mais difícil (hueheuehu sim, eu amo álgebra), para facilitar poderíamos fazer:
$v^{2}=v_{o}^{2}+2\alpha s$
Aplicando as nossas variáveis:
$0=v_{y}^{2}-2g(h-h_{o})$
$(h-h_{o})=\frac{-v_{y}^{2}}{-2g}$
$(h-h_{o})=\frac{v_{y}^{2}}{2g}$
$h=h_{o}+\frac{v_{y}^{2}}{2g}$
É a mesma expressão, mas o que fiz em cima, foi a demonstração da fórmula de Torricelli.

Agora vamos encontrar o tempo que da bola para que ela saia das mãos do jogador e encontre a cesta. Neste caso, como a bola para, quando encontra a cesta, então, vamos considerar apenas a composição horizontal ($v_{x}$), pois ela é a variação de espaço horizontal.
A bola está a uma distância ($d$) de 6 metros da cesta, então:
Obs.: este movimento é retilíneo uniforme
$s=s_{o}+vt$
O espaço inicial é desprezível
$s=vt$
$t=\frac{s}{v}$
$t=\frac{d}{v_{x}}$
$t=\frac{6}{6\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})}$
$t=1$ s