Question

integral de e^( 5 * arctan(x) ) / ( x^2 + 1 )

Answer 1

Temos a integral...

$\int\limits \frac{e^5^a^r^c^t^g^(^x^)}{x^2+1} {} \, dx$

Façamos a seguinte substituição:

$u = arctg(x)$

Derivando, ambos os lados em relação a "x" teremos que:

$\frac{du}{dx} = \frac{d(arctgx)}{dx}$

Para calcularmos a derivada de arctg(x) devemos ter guardada em mente ou devemos que procurar-la.

Supondo que não sabemos qual é sua derivada.

Seja a função,

$y = arctg(x)$

Aplicando tg em ambos os lado teremos que:

$tg(y) = tg(arctg(x))$

Como tg é inversa do arctg, podemos simplificar sem problema algum.

$\\ tg(y) = x$

Derivando essa expressão implicitamente teremos...

$\\ \frac{d(tg(y))}{dx} = \frac{d(x)}{dx}$

A derivada de tg(y) vou colocar direto. Pois essa temos que saber.

$\\ Sec^2(y) \frac{dy}{dx} = 1 \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{Sec^2(y)}$

Lembrando que,

Sect²x = 1+tg²x

Então ficamos:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+tg^2(y)}$

E lembrando que tinhamos ,

$tg(y) = x$

Então só substituir:


$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$
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logo,

$\\ u = arctgx \\ \\ \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \\ \\ du = \frac{dx} {1+x^2}$

Substituindo-se essa expressão em nossa integral:

$\int\limits \frac{e^5^a^r^c^t^g^x}{1+x^2} \, dx = \int\limits e^5^u \, du$
-----------------

Usando a seguinte propriedade:

$\int\limits e^k^x {} \, dx = \frac{e^k^x}{k} +C$

Então, ficamos que:

$\int\limits e^5^u\, du = \frac{e^5^u}{5} +C$

Agora substituindo "U"

$\frac{e^5^u}{5} +C= \frac{e^5^a^r^c^t^g^x}{5} +C$