Question

Qual o valor mínimo e máximo de Y = senX + CosX?

Obs.: Usando apenas conceitos trigonométricos e os resultados Sen (a+b) e Cos (a-b)

Ajudem, por favor!

Answer 1

$y=\mathrm{sen\,}x+\cos x$


Sabemos que

( propriedades de arcos complementares e suplementares )

$\mathrm{sen\,}x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )\\\\\cos x=-\cos (\pi+x)$


e portanto, podemos reescrever a nossa função assim:

$y=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )+\cos x\\\\\\ y=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos (\pi+x)~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Agora temos uma diferença de cossenos. Podemos fazer o seguinte.

Sabemos que

$\left\{ \begin{array}{cc}\cos(a-b)=\cos a\cos b+\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b&~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b&~~~~\mathbf{(iii)} \end{array} \right.$


Subtraindo as equações $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ temos

$\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\,\mathrm{sen\,}a\,\mathrm{sen\,}b~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Analisando a expressão $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(iv)},$ basta escolhermos $a$ e $b$ adequados, de forma que

$\left\{ \!\begin{array}{cc} a-b=\dfrac{\pi}{2}-x&~~~~\mathbf{(v)}\\\\ a+b=\pi+x&~~~~\mathbf{(vi)} \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema acima para $a$ e $b,$ encontramos

$2a=\dfrac{\pi}{2}+\pi\\\\\\ 2a=\dfrac{3\pi}{2}\\\\\\ a=\dfrac{3\pi}{4}\\\\\\\\ b=\pi+x-a\\\\ b=\pi+x-\dfrac{3\pi}{4}\\\\\\ b=\dfrac{\pi}{4}+x$


Aplicando em $\mathbf{(iv)}$ os valores encontrados, obtemos

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=2\,\mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{4}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )\\\\\\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )\\\\\\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right )-\cos(\pi+x)=\sqrt{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )$


Mas o lado esquerdo é justamente a expressão de $y$ em $\mathbf{(i)}.$ Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}y=\sqrt{2}\,\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right ) \end{array}}$


Segue diretamente da última igualdade acima que

• O valor mínimo de $y$ é quando $\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )=-1:$

$y_{\text{m\'in}}=\sqrt{2}\cdot (-1)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_{\text{m\'in}}=-\sqrt{2}\end{array}}$


• O valor máximo de $y$ é quando $\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}+x \right )=1:$
 
$y_{\text{m\'ax}}=\sqrt{2}\cdot 1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_{\text{m\'ax}}=\sqrt{2}\end{array}}$


Bons estudos! :-)