Question

(UFV) Dizemos que (a,f(a)) é um ponto fixo do gráfico de uma função real f : IR → IR se f(a) = a. Se f(x) = x² + 8x + 6, então a distância entre os pontos fixos do gráfico de f é:

a) 7

b) 4

c) 8

d) 5

e) 6
RESOLUÇÃO POR FAVOR! Gente eu imploro me ajudem

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a distância entre os dois pontos fixos da referida função polinomial do segundo grau é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d_{\overline{F'F''}} = 5\sqrt{2}\,u\cdot c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial do segundo grau - função quadrática:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} + 8x + 6\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: Ponto fixo de uma função é todo o ponto que não é alterado por uma aplicação.

Dizemos que F é um ponto fixo de f(x) se, e somente se:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} F = (x, \,f(x)) \Longleftrightarrow f(x) = x\end{gathered}$

Para encontrar os pontos fixos de uma função devemos calcular os pontos te interseção da referida função com a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Se a bissetriz dos quadrantes ímpares pode ser escrita como:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x) = x\end{gathered}$    

Fazendo:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = y\:\:\:e\:\:\:g(x) = y\end{gathered}$

Podemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

               $\Large\begin{cases} y = x^{2} + 8x + 6\\y = x\end{cases}$

Substituindo o valor de "y" na primeira equação, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = x^{2} + 8x + 6\end{gathered}$

Invertendo os membros para facilitar os cálculos, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x + 6 = x\end{gathered}$

Desenvolvendo os cáculos:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 8x - x + 6 = 0\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 7x + 6 = 0\end{gathered}$

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-7\pm\sqrt{7^{2} - 4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-7\pm\sqrt{49 - 24}}{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-7\pm\sqrt{25}}{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-7\pm5}{2}\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

  $\LARGE\begin{cases} x' = \frac{-7 - 5}{2} = -\frac{12}{2} = -6\\x'' = \frac{-7+ 5}{2} = -\frac{2}{2} = -1\end{cases}$

Obtendo os valores das ordenadas dos pontos fixos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = -6\Longrightarrow y' = -6\end{gathered}$

E....

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -1\Longrightarrow y'' = -1\end{gathered}$

Portanto, os pontos fixos são:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} F' = (-6,\,-6)\:\:\:e\:\:\:F'' = (-1,\,-1)\end{gathered}$

Agora devemos calcular a distância entre os respectivos pontos fixos. Então:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{F'F''}} = \sqrt{(-1 - (-6))^{2} + (-1 - (-6))^{2}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(-1 + 6)^{2} + (-1 + 6)^{2}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{25 + 25}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{50}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{5^{2}\cdot2}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5\sqrt{2}\end{gathered}$

✅ Portanto, a distância entre os pontos fixos da referida função é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{F'F''}} = 5\sqrt{2}\,u\cdot c\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/6159511

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$