Question

"No plano xy, existem quatro pontos : O(0,0) , A(0,3) , B(0,-3) , C(4,0) .
A equação da linha reta AC é 3x+4y-12 = 0 .
As coordenadas do circuncentro do triângulo ABC são (7/8,0).

Quando o ponto D é a intersecção da bissetriz do ângulo ABC e o eixo x , qual a proporção de OD : DC e quais as coordenadas do incentro do triângulo ABC? "

A minha dúvida é, como consigo achar estes resultados? Através de quais propriedades?

Answer 1

1º A equação da reta AC.

Seja m1 o coeficiente angular da reta AC.

m1=y-y0 / x-x0
m1=-3/4

Escolhendo qualquer um dos dois pontos A ou C, a equação da reta será dada por:

y-y0=m1(x-x0)

y-3=-3/4(x-0)

tirando o mmc e isolando os termos obtemos 3x+4y-12=0

2º As coordenadas do circuncentro.

O circuncentro é o ponto notável do triângulo que é interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.

A mediatriz é perpendicular a reta suporte do lado do triângulo assim, a reta AC tem m1=-3/4, sua mediatriz tem coeficiente m(1)=4/3 e o ponto médio de AC é M1(2,3/2). Então a equação da mediatriz será:

y-3/2=4/3(x-2) arrumando,

6y-8x+7=0

Por outro lado, a reta BC tem coeficiente m2=3/4, então sua mediatriz tem coeficiente m(2)=-4/3 e o ponnto médio de BC é M2(2,-3/2). Então a equação da mediatriz será:

y-(-3/2)=-4/3(x-2) arrumando,

6y+8x-7=0

Igualando as duas equações das mediatrizes temos um sistema cuja solução é x=7/8 e y=0 que são as coordenadas do circuncentro.

3º O ponto D é o incentro, já que é o ponto de interseção das bissetrizes internas do triangulo. Assim, precisamos apenas de uma bissetriz pois uma delas é o próprio eixo x, a reta y=0.

Como a reta AB é o próprio eixo y, é a reta x=0 a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas.

ax+by+c / raiz(a^2+b^2) = +- ax+by+c / raiz(a^2+b^2)

x/1 =  +-(6y+8x-7/10)

10x=6y+8x-7 ---- 2x-6y-7=0
ou 
10x=-6y-8x+7 ---- 18x+6y+7=0

Como pela figura queremos a reta crescente usamos a primeira. E substituímos y=0.
x=3/2

Assim,

OD=3/2 e como OC vale 4, DC=4-3/2, DC=5/2, logo a razão OD/DC=3/5.

Espero ter ajudado!!!