Question

Resolva a inequação em R: $\frac{x+5}{3x+2} \leq \frac{x-2}{3x+5}$

Answer 1

Vamos lá

Veja, Mateus, que a resolução é simples,embora um pouco trabalhosa.
Pede-se o conjunto-solução (domínio) da seguinte inequação:

(x+5)/(3x+2) ≤ (x-2)/(3x+5) ---- vamos pôr o 2º membro para dentro do 1º membro da desigualdade, com o que ficaremos assim:

(x+5)/(3x+2) - (x-2)/(3x+5) ≤ 0 ---- o mmc é: (3x+2)*(3x+5). Assim, utilizando-o, teremos:

[(3x+5)*(x+5) - (3x+2)*(x-2)]/[(3x+2)*(3x+5)] ≤ 0 ----- efetuando os produtos indicados, teremos isto:

[(3x²+20x+25) - (3x²-4x-4)] / (9x²+21x+10) ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses do numerador, iremos ficar apenas com:

[3x²+20x+25 - 3x² + 4x + 4]/(9x²+21x+10) ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(24x + 29)/(9x²+21x+10) ≤ 0

Agora note: ficamos com uma divisão entre duas funções: uma no numerador (f(x) = 24x + 29) e outra no denominador (g(x) = 9x²+21x+10) e cujo resultado terá que ser MENOR ou IGUAL a zero.
Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e, em seguida, analisaremos a variação de sinais de cada uma em função de suas raízes. E, finalmente, no fim, veremos qual é o conjunto-solução (domínio) para a inequação originalmente dada.
Assim teremos:

f(x) = 24x + 29 ---> raízes: 24x + 29 = 0 ---> 24x = - 29 ---> x = - 29/24
g(x) = 9x²+21x+10 ---> raízes: 9x²+21x+10 = 0 ---> x' = -5/3; x'' = - 2/3.

Agora vamos à variação de sinais de cada uma das equações, em função de suas raízes. Assim, teremos:

a) f(x) = 24x + 29 ...... - - - - - - - - - - - - - - - (-29/24)+ + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = 9x²+21x+10...+ + + + + (-5/3) - - - - - - - - - - - - - - (-2/3)+ + + + + + +...
c) a/b . . . . . . . . . . . . . - - - - - - - (-5/3)++++(-29/24)- - - - - (-2/3)+ + + + + + +....

Agora veja: como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo que nos dará o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada será:

x < - 5/3 , ou: -29/24 ≤ x < -2/3.

Aí você poderá pergunta: por que o "x" é apenas menor do que(-5/3) do que (-2/3) e, no entanto é maior ou igual a (-29/24).
Resposta: porque "-5/3" e "-2/3" são raízes da função do denominador. Então o "x'' jamais poderá assumir esses dois valores, pois se fôssemos admitir isso, então iríamos ter uma divisão por zero (lembre-se: as raízes de uma equação tornam-na igual a zero). E divisão por zero não existe. Por isso é que "x" poderá apenas ser maior ou igual a "-29/24" (que é a raiz do numerador), mas apenas menor do que "-5/3" e do que "-2/3".

Se você quiser também poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada da seguinte forma, o que é a mesma coisa;

D = {x ∈ R | x < -5/3, ou -29/24 ≤ x < -2/3}

Ou ainda, se quiser, também poderá apresentar o domínio do seguinte modo, o que significa o mesmo:  

D = (-∞; -5/3) ∪ [-29/4; -2/3).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.