Question

Derivadas:

Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial de 48 m/s da margem de uma
torre de altura 405 m.

(a) Encontre quando a bola chega na altura máxima.
(b) Encontre depois de quanto tempo a bola chega no solo e com que velocidade instantânea.

Use a aceleração gravitacional = 10 m/s²

Answer 1

As informações dadas são de que a velocidade inicial da bola é de 48m/s, de que ela está inicialmente a 405m do solo e de que existe uma aceleração atuando nela com valor de -10m/s² (visto que está no sentido oposto da velocidade - adotaremos sentido positivo para cima).

Para responder as perguntas, precisamos de uma correlação entre aceleração e velocidade e também de posição.

Como a única aceleração atuante é a da gravidade, temos que no sentido vertical a aceleração resultante é a= -10m/s² . O sentido horizontal não nos interessa neste problema.
Sabemos que a aceleração instantânea é dada pelo limite de Δv/Δt com Δt tendendo a 0, ou seja, é a derivada:
a(t)=dv/dt          (a aceleração neste problema é uma constante)
Então temos que:
dv/dt=-10m/s²
Assim:
dv=-10dt
Integrando dos dois lados (integral indefinida) temos:
∫dv=∫-10dt
v(t)=-10.t + C1
Precisamos achar o valor da constante C1.
Temos a seguinte informação:
para t=0 a velocidade é de 48m/s
Então:
v(t)=-10.t + C1
48=-10.0 + C1
C1=48
Chegamos a equação que fornece a velocidade instantânea da bola no tempo t:
v(t)=-10.t + 48

Respondendo a questão a)
Quando a bola chegar na altura máxima ela irá parar e começar a descer por atuação da gravidade. Então na altura máxima a sua velocidade será 0.Então:
v(t)=-10.t + 48
0=-10.t + 48
10.t=48
t=48/10=4,8s
Esse será o instante em que a bola atingirá máxima altura.

Para responder a questão b, precisamos achar a função que descreve a posição da bola em cada instante.
Sabemos que a velocidade instantânea é dada pelo limite de ΔS/Δt com Δt tendendo a 0, ou seja, é a derivada da função velocidade:
v(t)=dS/dt
Então:
dS/dt=-10.t + 48
Assim:
dS=(-10.t + 48)dt
Integrando dos dois lados:
∫dS=∫(-10.t + 48)dt
S(t)=-10t²/2 + 48.t + C2
Precisamos achar o valor de C2. Temos a seguinte informação:
para t=0  a posição da bola será 405m. Então:
S(t)=-10t²/2 + 48.t + C2
405=-5.0² + 48.0 + C2
C2=405m
Chegamos a equação que fornece a posição instantânea da bola no tempo t:
S(t)=-5t² + 48.t + 405

Para saber a velocidade da bola quando ela chega no solo, primeiro calculamos o instante que isso ocorrerá. Para isso usamos a equação da posição. A bola tocará o solo quando a posição for 0.
S(t)=-5t² + 48.t + 405
0=-5t² + 48.t + 405
Aplicando Baskara:
a=-5  b=48  c=405
t=[-48+/-√(48²-4.(-5).405)]/[2.(-5)]
t=[-48+/-√(2304+8100)]/(-10)
t=[-48+/-√(10404)]/(-10)
t=[-48+/-102]/(-10)
t1=[-48+102]/(-10)  --> t1=54/-10=-5,4 (tempo negativo, descartamos ele)
t2=[-48-102]/(-10)  --> t2=-150/-10=+15s
Esse é o instante que a bola chega ao chão.

Utilizamos este tempo na equação da velocidade:
v(t)=-10.t + 48
v(t)=-10.15 + 48
v(t)=-150+48
v(t)=-102m/s    (a velocidade é negativa porque está no sentido inverso da inicial, que foi adotada como positiva)
Em modulo será 102m/s

Espero ter ajudado =)