Question

A quantidade de lados de dois poligonos regulares sao numeros inteiros e consecutivos e a diferença entre a medida de seus angulos internos é igual a 1,5 graus.O numero de diagonais que passam pelo centro do poligono que possui o maior numero de lados

Answer 1

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Sejam $\mathsf{m}$ e $\mathsf{n}$ a quantidade de lados dos dois polígonos regulares em questão


Como $\mathsf{m}$ e $\mathsf{n}$ são inteiros consecutivos

com

$\mathsf{m=n+1}\\\\ \mathsf{n=m-1}$


ou seja $\mathsf{m}$ é o maior e é o sucessor de $\mathsf{n}.$


•    Para o polígono com $\mathsf{m}$ lados, a medida do ângulo interno é dada por

$\mathsf{A_i(m)=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{m}}$


•    Para o polígono com $\mathsf{m}$ lados, a medida do ângulo interno é dada por

$\mathsf{A_i(n)=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}}$


Pelo enunciado, devemos ter

$\mathsf{A_i(m)-A_i(n)=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{\left(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{m}\right)-\left(180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}\right)=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{180^\circ-\dfrac{360^\circ}{m}-180^\circ+\dfrac{360^\circ}{m-1}=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{360^\circ}{m}+\dfrac{360^\circ}{m-1}=1,\!5^\circ}$

$\mathsf{-\,\dfrac{360^\circ}{m}+\dfrac{360^\circ}{m-1}=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-360^\circ\cdot (m-1)+360^\circ\cdot m}{m(m-1)}=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-360^\circ\cdot m+360^\circ+360^\circ\cdot m}{m(m-1)}=1,\!5^\circ}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{360^\circ}{m(m-1)}=1,\!5^\circ}$

$\mathsf{360^\circ=m(m-1)\cdot 1,\!5^\circ}\\\\ \mathsf{360\cdot 2^\circ=m(m-1)\cdot 1,\!5^\circ\cdot 2}\\\\ \mathsf{720^\circ=m(m-1)\cdot 3^\circ}\\\\ \mathsf{720^\circ=(m^2-m)\cdot 3^\circ}$

$\mathsf{3m^2-3m-720=0}\\\\ \mathsf{3^\circ (m^2-m-240)=0}\\\\ \mathsf{m^2-m-240=0}$


Acima temos uma equação quadrática em $\mathsf{m}.$ Vou resolvê-la usando fatoração por agrupamento


Reescreva convenienemene $\mathsf{-m}$ como $\mathsf{-16m+15m},$ e depois fatore o lado esquerdo:

$\mathsf{m^2-16+15m-240=0}\\\\ \mathsf{m^2-16+15m-15\cdot 16=0}\\\\ \mathsf{m(m-16)+15(m-16)=0}\\\\ \mathsf{(m-16)(m+15)=0}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{m-16=0}&\textsf{ ou }&\mathsf{m+15=0}\\\\ \mathsf{m=16}&\textsf{ ou }&\mathsf{m=-15\quad\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{-15<3}\textsf{)}}\\\\ \end{array}$


Sendo assim, o maior número de lados dentre os dois polígonos apresentados é

$\mathsf{m=16}\qqquad\quad\checkmark$


e sendo este um número par, a quantidade de diagonais que passam pelo seu centro é

$\mathsf{\dfrac{m}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{16}{2}}\\\\\\ =\mathsf{8}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}\qquad\quad\checkmark$


Portanto, 8 diagonais passam pelo centro do polígono que possui o maior número de lados.


Bons estudos! :-)


Tags:   número quantidade diagonal centro polígono regular geometria plana