Question

resolva a equação x elevado a 3 - 14 x elevado a 2 + 58 x = 0 Considerando o conjunto universo

a) "Números Reais"
b) "Números complexos"

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Kuchikii, que é pedido pra resolver a equação abaixo no âmbito dos Reais e no âmbito dos Complexos:

x³ - 14x² + 58x = 0 ----- vamos pôr "x" em evidência:

x*(x² - 14x + 58) = 0 ----- note que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0
ou
x²-14x+58 = 0 ---> Note: esta equação tem o delta (b²-4ac) menor do que zero. Logo, ela não terá raízes reais.

Como é pedido para que resolvamos a equação dada no âmbito dos Reais e no âmbito dos Complexos, então:

a) No âmbito dos Reais, temos que a única resposta real é: x = 0

b) No âmbito dos Complexos, temos que as raízes serão estas:

x' = 0; x'' = 7-3i; e x''' = 7+3i.

Aí você poderá perguntar: como sabemos que no âmbito dos complexos temos uma raiz real (x = 0) e duas raízes complexas (x'' = 7-3i; e x''' = 7+3i)?
Resposta: porque a raiz real já é dada (logo de cara), quando nós chegamos na passagem de:  x*(x²-14x+58) = 0. Lembre-se que, nessa passagem, havíamos afirmado: uma raiz é x = 0; e a outra raiz será dada por: x²-14x+58 = 0. E, como esta equação tem o delta menor do que zero, então ela só teria raízes no âmbito dos complexos.
Veja, portanto, como encontrar as duas raízes complexas. Aplicando Bháskara na equação x²-14x+58 = 0, teremos:

x = [-(-14)+-√(-14)² - 4*1*58)]/2*1
x = [14+-√(196-232)]/2
x = [14+-√(-36)]/2 ----- veja que √(-36) = √(36)*√(-1). Assim:
x = [14+-√(36)*√(-1)]/2 ----- note que √(36) = 6 e √(-1) = i. Assim:
x = [14+-6i]/2 ----- Dividindo-se cada fator por "2", teremos:
x = [7+-3i] ------ daqui você conclui que:

x' = 7-3i e x'' = 7+3i <--- Pronto. Estas são as duas raízes complexas.

Por isso é que, no âmbito dos complexos, demos que as raízes serão:

x' = 0, x'' = 7-3i; e x''' = 7+3i.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.