Question

sabendo que o angulo formado entre os vetores u= (2,0,k) e v=(0,1,1) é θ = 60° é , determine os valores de k ?

Answer 1

Boa noite!

Solução!

$\vec{u}=(2,0,k)\\\\\\ \vec{v}=(0,1,1)\\\\\\ Cos\theta= \dfrac{1}{2}\\\\\\\\\\ Cos\theta= \dfrac{\vec{u} \times\vec{v}}{|\vec{u}| \times|\vec{v}|}$


$\dfrac{1}{2} = \dfrac{(2,0,k) \times(0,1,1)}{ \sqrt{2^{2}+0^{2}+k^{2} } \times \sqrt{0^{2}+1^{2} +1^{2} } }\\\\\\\\\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{(0+0+k) }{ \sqrt{4+k^{2} } \times \sqrt{2 } }$


$\dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{ \sqrt{4+k^{2} } \times \sqrt{2 } }\\\\\\\\\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{ \sqrt{4+k^{2} } \times \sqrt{2 } }\\\\\\\\\\ 1( \sqrt{4+k^{2} } \times \sqrt{2}=2(k)\\\\\\\\\ (\sqrt{4+k^{2}})^{2} \times (\sqrt{2})^{2} =(2k)^{2}\\\\\\\ 4+k^{2}\times2=4k^{2}\\\\\\\ 8+2k^{2}=4k^{2}$


$2k^{2}-4k^{2}=-8\\\\\\ -2k^{2}=-8\\\\\\ k^{2}= \dfrac{-8}{-2}\\\\\\\ k^{2}=4\\\\\ k= \sqrt{4}\\\\\\ k=2\\\\\\\\ \boxed{Resposta: k=2}$


Boa noite!
Bons estudos!

Answer 2

Os valores de k são -2 e 2.

Para calcularmos o ângulo entre dois vetores, utilizamos a fórmula $cos(\alpha)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Sendo u = (2,0,k) e v = (0,1,1), temos que o produto interno entre u e v é igual a:

<u,v> = 2.0 + 0.1 + k.1

<u,v> = k.

Agora, vamos calcular a norma dos dois vetores:

||u||² = 2² + 0² + k²

||u||² = 4 + k²

||u|| = √(4 + k²)

e

||v||² = 0² + 1² + 1²

||v||² = 1 + 1

||v||² = 2

||v|| = √2.

Como o ângulo entre u e v mede 60°, então podemos afirmar que:

cos(60) = 1/2.

Assim,

$\frac{1}{2}=\frac{k}{\sqrt{4+k^2}.\sqrt{2}}$

√(4 + k²).√2 = 2k

√(8 + 2k²) = 2k

Elevando ambos os lados ao quadrado:

8 + 2k² = 4k²

2k² = 8

k² = 4

k = ±2.

Para mais informações sobre vetores, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/20002577