Question

[50 pts]

4) Calcular a integral indefinida :

Se puder explicar passo a passo ficaria agradecido.

$\int\limits^ {}( \frac{3x^2+2x-2}{x^4+2x^2}) \, dx$

Answer 1

$I=\displaystyle\int\!\dfrac{3x^2+2x-2}{x^4+2x^2}\,dx$


A função no integrando é uma função racional, cujo grau do numerador já é menor que o grau do denominador. Logo, podemos decompô-la em frações parciais:

$f(x)=\dfrac{3x^2+2x-2}{x^4+2x^2}\\\\\\ \dfrac{3x^2+2x-2}{x^2\cdot (x^2+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+2}$


Multiplicando os dois lados por $x^2\cdot (x^2+2),$ obtemos

$3x^2+2x-2=Ax\cdot (x^2+2)+B\cdot (x^2+2)+(Cx+D)\cdot x^2~~~~~~\mathbf{(i)}$


Como temos um polo repetido, vamos derivar os dois lados da expressão acima uma vez em relação a $x:$

$6x+2=\left[A\cdot(x^2+2)+2Ax^2 \right ]+2Bx+\left[Cx^2+2Cx^2+2Dx \right ]~~~~~~\mathbf{(ii)}$


O truque aqui é substituir $x$ pelo valor de um dos polos de $f.$

( polos são as raízes complexas do denominador de $f$ )


$\bullet\;\;$ Em $\mathbf{(i)},$ fazendo $x=0,$ obtemos

$-2=B\cdot (0^2+2)\\\\ -2=2B\\\\ \boxed{\begin{array}{c}B=-1 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Em $\mathbf{(ii)},$ fazendo $x=0,$ obtemos

$2=\left[A\cdot(0^2+2)+0 \right ]+0\\\\ 2=2A\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A=1 \end{array}}$

__________________

Agora, vamos atribuir dois valores arbitrários para $x,$ e substituir em $\mathbf{(i)}.$


$\bullet\;\;$ Em $\mathbf{(i)},$ fazendo $x=1,$ ficamos com

$3\cdot 1^2+2\cdot 1-2=A\cdot 1\cdot (1^2+2)+B\cdot (1^2+2)+(C\cdot 1+D)\cdot 1^2\\\\\\ 3=3A+3B+C+D\\\\ 3=3\cdot (1)+3\cdot (-1)+C+D\\\\ 3=3-3+C+D\\\\ C+D=3~~~~~~\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Em $\mathbf{(i)},$ fazendo $x=-1,$ ficamos com

$3\cdot (-1)^2+2\cdot (-1)-2=A\cdot (-1)\cdot ((-1)^2+2)+B\cdot ((-1)^2+2)+(C\cdot (-1)+D)\cdot (-1)^2\\\\\\ -1=-3A+3B-C+D\\\\ -1=-3\cdot (1)+3\cdot (-1)-C+D\\\\ -1=-3-3-C+D\\\\ -1=-6-C+D\\\\ -C+D=-1+6\\\\ -C+D=5~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Resolvendo o sistema formado pelas equações $\mathbf{(iii)}$ e $\mathbf{(iv)},$ tiramos

$\boxed{\begin{array}{c}C=-1 \end{array}}~\text{ e }~\boxed{\begin{array}{c}D=4 \end{array}}$

_____________

Então, a função a ser integrada é

$f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{-x+4}{x^2+2}$


e a integral pedida é

$I=\displaystyle\int\!\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{-x+4}{x^2+2}\right)dx\\\\\\ =\int\!\left(x^{-1}-x^{-2}+\frac{-x+4}{x^2+2}\right)dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|-\frac{x^{-1}}{-1}+\int\!\dfrac{-x+4}{x^2+2}\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}+\int\!\dfrac{1}{-2}\cdot \dfrac{(-2)\cdot (-x+4)}{x^2+2}\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int\!\dfrac{2x-8}{x^2+2}\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int\!\dfrac{2x-8}{x^2+2}\,dx$

$\displaystyle=\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int\!\left(\dfrac{2x}{x^2+2}-\dfrac{8}{x^2+2} \right )\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int\!\dfrac{2x}{x^2+2}\,dx+4\int\dfrac{1}{x^2+2}\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\int\!\dfrac{2x}{x^2+2}\,dx+4\int\dfrac{1}{x^2+\big(\sqrt{2}\big)^2}\,dx\\\\\\ =\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}(x^2+2)+4\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}} \right )+K\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\!\dfrac{3x^2+2x-2}{x^4+2x^2}\,dx=\mathrm{\ell n\,}|x|+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\,\mathrm{\ell n}(x^2+2)+\dfrac{4}{\sqrt{2}}\,\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}} \right )+K \end{array}}$


Bons estudos! :-)