Question

Prove que limite de x tendendo a p de f(x)/x-p é igual a zero se e somente se limite de x tendendo a p de f(x)/ |x-p| é igual a zero

Answer 1

Olá!
 
    Esta questão era pra bem mais que 5 pontinhos né, mas ok!, vamos lá!
  
    Seja $\epsilon \ \textgreater \ 0$   arbitrário (isto é, para todo $\epsilon$   positivo). Precisamos mostrar que:

$\exists\; \delta \ \textgreater \ 0\; ;\; 0\ \textless \ |x-p|\ \textless \ \delta \Rightarrow \left|\dfrac{f(x)}{x-p}-0\right| \ \textless \ \epsilon$

Note que

$\left|\dfrac{f(x)}{x-p}-0\right|\ \textless \ \epsilon \Leftrightarrow \dfrac{|f(x)|}{|x-p|}\ \textless \ \epsilon \Leftrightarrow |f(x)|\ \textless \ \epsilon \cdot |x-p|\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow |f(x)-0|\ \textless \ \epsilon \cdot |x-p|$

Tomando $\delta=\epsilon\cdot |x-p|$   , temos

$0\ \textless \ |x-p|\ \textless \ \delta=\epsilon\cdot|x-p|\Rightarrow \left|\dfrac{f(x)}{x-p}-0 \right|\ \textless \ \epsilon$

Portanto, bastava exibir o intervalo  $\delta$   que satisfizesse a definição de limite.

Bons estudos!