Question

Um aluno inseriu a seguinte linha de comando do maxima (%i1)integrante(x^2*((1+x^3)^5), x); a integral indefinida procurada pelo aluno é:

gostaria do calculo.


A resposta é : 1/18(1+x³)^5+C

(se responder com com dúvidas, perguntas, só para ganhar os pontos...etc. Vou denunciar)

Answer 1

Não conheço o Maxima, mas fica evidente para mim que a integral que se deseja calcular é esta:

$\displaystyle\int\!x^2(1+x^3)^5\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{1}{3}\cdot 3x^2(1+x^3)^5\,dx\\\\\\ =\frac{1}{3}\int\!(1+x^3)^5\cdot 3x^2\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Faça a seguinte substituição:

$1+x^3=u~\Rightarrow~3x^2\,dx=du$


Substituindo, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle=\frac{1}{3}\int\!u^5\,du\\\\\\ =\frac{1}{3}\cdot \dfrac{u^{5+1}}{5+1}+C\\\\\\ =\frac{1}{3}\cdot \dfrac{u^6}{6}+C\\\\\\ =\frac{1}{18}\,u^6+C\\\\\\ =\frac{1}{18}\,(1+x^3)^6+C\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\!x^2(1+x^3)^5\,dx=\frac{1}{18}\,(1+x^3)^6+C \end{array}}$


Bons estudos! :-)