Question

Calcule a integral indefinida

n) $\int\ {}( \sqrt[3]{x^2}+ \frac{1}{3x} ) \, dx$

Answer 1

Olá Lucas!

Primeiramente iremos utilizar propriedades de radiação e potenciação.

$\\ \int\limits \sqrt[3]{x^2} {}+ \frac{1}{3x} \, dx= \int\limits x^ \frac{2}{3} {}+ 3x^-^1 \, dx$

Agora, basta utilizarmos a regra de integral de potência:

$\\ \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} ,n \neq -1$

Como podemos ver, (1/3)x⁻¹ , n = -1

Então, não podemos usar regra de potência.
Nesses casos especiais utilizamos logaritmo neperiano.

$\\ \int\limits{ \frac{1}{u^n} } \, dx = Ln|u|+C$
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Vamos resolver a primeira integral por potência:

$\\ \int\limits {x^ \frac{2}{3} } \, dx = \frac{x ^ \frac{2}{3}^+^1 }{ \frac{2}{3} +1} \\ \\ = \frac{x^ \frac{5}{3} }{ \frac{5}{3}} \\ \\ = \frac{3x^ \frac{5}{3}}{5}$

Colocando o resultado dessa integral em formato de raiz:

$\\ = \frac{3 \sqrt[3]{x^5} }{5}$
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A nossa segunda integral é:


$\\ \int\limits \frac{1}{3x} \, dx$

Façamos "u = 3x"

$\\ u = 3x$

Ao derivarmos ambos os lado ficamos...


$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} ( 3x) \\ \\ 1= 3 *\frac{dx}{du} \\ \\ du = 3dx \\ \\ \frac{du}{3} = dx$

Substituindo "dx = du/3  e 3x = u"

$\\ \int\limits { \frac{1}{3x} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{u} } \, \frac{du}{3} \\ \\ = \frac{1}{3} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du$

Lembrando que ,

$\int\limits { \frac{1}{u} } \, du = Ln|u|$

Então,


$\\ \frac{1}{3} \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = \frac{1}{3} Ln|u|$

Substituindo "u = 3x"

$\\ = \frac{1}{3} Ln|3x|$

Logo, a integral completa será a somas das duas integrais:


$\\ \int\limits \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{3x} {} \, dx = \frac{3 \sqrt[3]{x^5} }{5} + \frac{1}{3} Ln|3x|$

Deixando claro que devemos não esquecer da constante "k"

$\\ \int\limits \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{3x} {} \, dx = \frac{3 \sqrt[3]{x^5} }{5} + \frac{1}{3} Ln|3x|+K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{1}{\:3x}\right)dx\\\\\\=\int \sqrt[3]{x^2}dx+\int \frac{1}{3x}dx\\\\\\=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{1}{3}ln \left|x\right|\\\\\\\to \boxed{\sf =\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{1}{3}ln \left|x\right|+C}$