Question

o sistema
mx + y = 0
x+ my = 0

a) é impossível, se m=0
b) tem mais de uma solução, se m =-1
c) tem solução unica se m = 1
d) admite solução nula, qualquer que seja m
e) admite mais de uma solução, qualquer que seja m ≠ $\frac{1}{2}$




com calculo

Answer 1

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O sistema dado na tarefa é homogêneo, pois os termos independentes são todos nulos.


a) Falsa.

Para  m = 0,  o sistema se reduz a

     $\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{0x+y=0}\\ \mathsf{x+0y=0} \end{array} \right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{y=0}\\ \mathsf{x=0} \end{array} \right.$

que possui solução única:  (x, y) = (0, 0). Logo, o sistema não é impossível.

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b) Falsa.

Para  m = – 1,  o sistema se reduz a

     $\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{-1x+y=0}\\ \mathsf{x-1y=0} \end{array} \right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{x+y=0}\\ \mathsf{x-y=0} \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema,

     y = – x


Substituindo na 2ª equação,

     x – (– x) = 0

     x + x = 0

     2x = 0

     x = 0


de onde tiramos que

     y = 0

Assim, encontramos como solução única  (x, y) = (0, 0). Portanto, o sistema não tem mais de uma solução.

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c) Falsa.

Se  m = 1, o sistema fica

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{1x+y=0}\\ \mathsf{x+1y=0} \end{array} \right.\quad\Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{x+y=0}\\ \mathsf{x+y=0} \end{array} \right.$


As duas equações do sistema são equivalentes. Isolando y em funçao de x, obtemos

     y = – x


Fazendo  x = λ,  obtemos a forma das soluções:

     $\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{x=\lambda}\\ \mathsf{y=-\lambda} \end{array} \right.\qquad\quad \mathsf{\lambda\in\mathbb{R}}$


As soluções são todos os pares ordenados na forma  (x, y) = (λ, – λ),  com  λ  real. Como  λ  pode assumir qualquer valor real, o sistema então admite infinitas soluções.

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d) Verdadeira.          ✔

Como o sistema é homogêneo, o par nulo
 
     (x, y) = (0, 0)

sempre é solução para o sistema, independente do valor de  m.

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e)  Falsa.

Assim como fizemos na alínea b),  tome como contraexemplo o sistema obtido para  m = – 1 ≠ 1/2.  Obtivemos um sistema de solução única.


Resposta correta:  alternativa  d)  admite solução nula, qualquer que seja m.


Bons estudos! :-)