Question

Calcule a integral por substituição de variável

Obs : O denominador é "x ln x"

Answer 1

Olá lucas!

Vamos substituir "u = lnx"

$u = lnx$

Derivando em ambos os lados teremos:

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (Lnx) \\ \\ 1 = \frac{1}{x} \frac{dx}{du} \\ \\ 1du = \frac{1}{x} dx$
--------------------------------

Substituindo na integral:

$\\ \int\limits { \frac{1}{xlnx} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{Lnx} } \, \frac{1}{x} dx \\ \\= \int\limits { \frac{1}{u} } \, du$

Agora observe, que não devemos utilizar integração de potência.

Pois , n = -1  OBSERVE:
---------------------------

$\int\limits{ \frac{1}{u} } \, du = \int\limits{ u^-^1 } \, du =$

Então, iremos utilizar essa regra:


$n = -1, \left \{ {{ \int\limits{ u^-^1} \, du= Ln|u|} } \right.$

Então, nossa integral será:

$\\ = Ln|u|$

Mas, não se esqueça que devemos retornar na variável "X"

Tinhamos que:


$u = lnx$

logo, substituindo-se u = lnx, teremos que:

$\\ = Ln| lnx |$

Deixando claro que não devemos esquecer da constante "K"

$\\ = \\ = Ln| lnx |+K$