Question

Calcule a integral por partes

Answer 1

Boa tarde Jairo!

Solução!

$\displaystyle \int x^{2} .e^{x} dx\\\\\\\ u= x^{2} ~~~~~dv= e^{x}\\\\\ du=2xdx~~~~~v= e^{x}\\\\\\\\ uv-\displaystyle \int vdu\\\\\\ x^{2} . e^{x}-\displaystyle \int 2x e^{x} dx\\\\\\\ x^{2} . e^{x}-2\displaystyle \int x e^{x} dx\\\\\\\ u=x~~~~~dv= e^{x}\\\\\\ du=dx~~~~v= e^{x}$
  

$x^{2} . e^{x}-2\displaystyle \int x e^{x} dx\\\\\\ x^{2} . e^{x}-2(x.e^{x}- \int x e^{x} dx)\\\\\\\ x^{2} . e^{x}-2(x.e^{x}- e^{x} )+c\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:\displaystyle \int x^{2} .e^{x} dx=x^{2} . e^{x}-2(x.e^{x}- e^{x} )+c}$

Boa tarde!
Bons estudos!

Answer 2

Olá lucas!

Pela regra do "LIATE"

Veremos que:

$\\ u = x^2 \\ dv = e^xdx$
--------------------------------------

Derivando implicitamente x² em u"

$\\ u = x^2 \\ \\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (x^2) \\ \\ 1 = 2x \frac{dx}{du} \\ \\ 1du = 2xdx$

Achando nosso "dv"

$dv = e^xdx$

Integrando ambos os lados, teremos:

$\\ \int\limits {dv} \, = \int\limits {e^x} \, dx \\ \\ v = \int\limits {e^x} \, dx$

Lembrando que,

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

Então:

$v = e^x$
--------------------------------------------

Indo a formula de integração por partes:

$\\ \int\limits u {dv} \, = uv- \int\limits v {} \, du$

Substituindo os valores  encontrados:

$\\ = x^2e^x- \int\limits e^x {} \, 2xdx$
-------------------------------------------------

Teremos que calcular a segunda integral por partes novamente:

Pela regra do "LIATE"

$\\ u = 2x \\ dv = e^xdx$

Derivando  "2x implicitamente em relação a u"

$\\ \frac{d}{du} (u) = \frac{d}{du} (2x) \\ \\ 1 = 2 \frac{dx}{du} \\ \\ du = 2dx$

Como já sabemos:

$\\ dv = e^xdx \\ \\ \int\limits dv {} \, = \int\limits e^x{} \, dx \\ \\ v = e^x$

Então,


$\\ \int\limits uv {} \, dv = uv- \int\limits v {} \, du$

Substituindo-se

u = 2x
du = 2dx
v = e×
------------------------------------

$\\ \int\limits e^x2xdx {} \, = 2xe^x- \int\limits {e^x} \, 2dx \\ \\ \int\limits e^x2xdx {} \, = 2xe^x-2\int\limits {e^x} \, dx \\ \\ \int\limits e^x2xdx {} \, = 2xe^x-2e^x$

Então, nossa integral completa fica:

$\\ \int\limits {x^2e^x} \, dx = x^2e^x- \int\limits {e^x2x} \, dx \\ \\ \int\limits x^2 {e^x} \, dx = x^2e^x - [ 2xe^x-2e^x] \\ \\ \int\limits x^2 {e^x} \, dx = x^2e^x-2xe^x+2e^x$

Colocando "e×" em evidência e a constante "K"

$\\ \int\limits x^2 {e^x} \, dx = x^2e^x-2xe^x+2e^x \\ \\ \int\limits x^2 {e^x} \, dx = e^x[ x^2-2x+2] + K$