Question

1) sabe-se que f é uma função continua em p=2 e que f(2) = 8 Mostre que existe δ>0, tal que ∀x∈Df, temos que
2-δ<x<2+δ=>f(x)>7


2)Sejam f e g funções definidas em R, com g(x) ≠ 0, ∀x∈R. se lim f(x)/g(x) = 0 Prove que existe δ>0, tal que x->P
0< |x-p|< δ => |f(x)| < |g(x)|.

3) sem lim f(x)= M e lim g(x) = N, prove que lim f(x).g(x)= M.N.
sugestão: use o fato que
f(x).g(x)= 1/4[(f(x)+g(x))²-(f(x)-g(x))²]

sei que tem no livro calculo do guidorizzi porem nao achei se alguem saber qual a pagina ja agradeceria

Answer 1

Olá!
 
    1) $f$   é contínua em $p=2$  , isto é,  $f$   está definida no 2, existe o limite quando x se aproxima de 2 e esse limite é igual ao valor da função neste ponto, isto é, vale 8. Sendo assim, utilizemos a definição de limite:

$\forall \epsilon\ \textgreater \ 0,\;\exists\delta \ \textgreater \ 0;\;0\ \textless \ |x-2|\ \textless \ \delta\Rightarrow |f(x)-8|\ \textless \ \epsilon$

Da desigualdade $|f(x)-8|<\epsilon$   temos:

$|f(x)-8|\ \textless \ \epsilon \Leftrightarrow 8-\epsilon\ \textless \ f(x)\ \textless \ 8+\epsilon \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow f(x)\ \textgreater \ 8-\epsilon$

Como $\epsilon$   é qualquer, tome-o igual a 1, e teremos que 

$f(x)>8-1\Leftrightarrow f(x)>7$

2) Temos que $g(x)>0$   e   $\exists \lim_{x\to p}\left({\dfrac{f(x)}{g(x)}}\right)$   . Segue que

$\forall \epsilon\ \textgreater \ 0,\;\exists\delta\ \textgreater \ 0;\;0\ \textless \ |x-p|\ \textless \ \delta\Rightarrow \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}-0\right|\ \textless \ \epsilon$

Da última desigualdade,

$\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|\ \textless \ \epsilon \Rightarrow |f(x)|\ \textless \ \epsilon \cdot |g(x)|$

E, como $\epsilon$   é qualquer, tome-o igual a 1, e teremos

$|f(x)|\ \textless \ 1\cdot |g(x)| \Leftrightarrow |f(x)|\ \textless \ |g(x)|$

3) Livro "Um Curso de Cálculo, Volume 1", autor: Hamilton Luiz Guidorizzi, página: 155.

Bons estudos!