Question

Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse:

"Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes."

Quanto custou o presente?

Answer 1

 Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes. 
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim: 
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) 
ou 
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d 
Resolvendo: 
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 
ou 
991d + 10c -890b -8999a = 0 
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d. 
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas: 
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: 
10c = 8999a + 890b - 991d 
Dividimos toda a equação pelo coeficiente: 
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d 
Separando as partes inteiras das frações, 
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d 
ou 
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d) 
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10. 
Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0. 
Fica assim, 9a - d = 0 
ou 
d = 9a 
Retornando este resultado à equação anterior, fica 
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a) 
ou 
c = 899a + 89b - 891a 
c = 8a + 89b 
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim, 
c = 8a 
Lembremos ainda que a é 1 ou 0. 
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00. 
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9. 
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado