Question

O valor de $( \sqrt{3} + i)^7$ é igual a:

$a) -64 \sqrt{3} - 64i \\b) 128 - 64i \\c)64 \sqrt{3} + 64i \\d)-8 \sqrt{3}-8i\\e)-128 \sqrt{3} - 128i$

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "z", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim:

z = [√(3) + i]⁷ ----- veja que você poderá reescrever esta expressão da seguinte forma, o que vai significar a mesma coisa:

z = [√(3) + i]*[√(3)+i]⁶ ---- ou, ainda:
z = [√(3)+i]*[√(3)+i]²*[(3)+i]²*[√(3)+i]²

Veja que: [√(3)+i]² = 3+2i√(3)+i² ----- como i² = -1, teremos que:
3+2i√(3)+(-1) ---> 3+2i√(3)-1 ---> 2+2i√(3). Assim, cada um dos fatores que estão elevados ao quadrado aí em cima, ficará sendo: 2+2i√(3). Então vamos fazer as devidas substituições, ficando:

z = [√(3) + i]*[2+2i√(3)]*[2+2i√(3)]*[2+2i√(3)] --- colocando-se o "2" em evidência, ficaremos assim:

z = [√(3)+i]*2[1+i√(3)]*2[1+i√(3)]*2[1+i√(3)] ----- como 2*2*2 = 8, então vamos passar esse "8" para antes de toda a expressão, ficando:

z = 8*[√(3)+i]*[1+i√(3)]*[1+i√(3)]*[1+i√(3)] ---- ou, o que é a mesma coisa:
z = 8*[√(3)+i]*[1+i√(3)]³ ---- note, a propósito, que [1+i√(3)]³ = -8. Assim, substituindo-se, teremos:

z = 8*[√(3)+i]*(-8) ----- como 8*(-8) = - 64, ficaremos com:
z = -64*[√(3) + i] ---- efetuando-se este produto, ficaremos com:
z = - 64√(3) - 64i <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.