Question

seja a equação x³+2x²+mx-6=0, determine m, sabendo que -4 é raiz dessa equação

Answer 1

Olá!
 
    Se -4 é raiz, então o polinômio desta equação é divisível por $x-(-4)=x+4$  . Pelo algoritmo da divisão, temos que 

$x^3+2x^2+mx-6=(x+4)q(x)+r(x)$

onde q(x) é o quociente e r(x) é o resto. Como a divisão é exata, r(x)=0. Ainda, quando dividimos um polinômio de grau 3 por um de grau 1, obtemos um quociente que é um polinômio de grau 2. Logo, temos

$x^3+2x^2+mx-6=(x+4)(ax^2+bx+c) = ax^3+ bx^2+cx+\\ \\+4ax^2+4bx+4c= ax^3+x^2(b+4a)+x(c+4b)+4c$

Isto é,

$x^3+2x^2+mx-6=ax^3+x^2(b+4a)+x(c+4b)+4c$

Da igualdade de polinômios,

$4c=-6\Rightarrow c=-\dfrac{3}{2}\\ \\a=1 \\ \\ b+4a=2\Rightarrow b=2-4=-2 \\ \\ c+4b=m\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}+4\cdot (-2) \Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}-8 \Rightarrow m=-\dfrac{19}{2}$

Bons estudos!