Question

Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a equação $p(t) = \frac{1}{(1+ae^-{kt} )}$
em que p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são constantes
positivas.
a) Encontre o limite $\lim_{n \to \infty} p_(t )$
b) Encontre a taxa de propagação do boato.

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Answer 1

Olá!
   
a) 

$\lim_{t\to \infty}{p(t)}=\lim_{t\to\infty}{\dfrac{1}{(1+ae^{-kt})}}=\\ \\ \\ = \lim_{t\to\infty}{\dfrac{1}{(1+\frac{a}{e^{kt}})}} \stackrel{(t>0)}{=} \dfrac{1}{(1+0)}=1$

b) A taxa de propagação é a derivada da função dada. Logo,

$p'(t)=\dfrac{-1\cdot(-ake^{-kt})}{(1+ae^{-kt})^2}= \dfrac{ake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}$


Bons estudos!