Question

ALGUÉM ME AJUDA PELO AMOR DE DEUS?

A figura a seguir representa um homem de altura H que vai do ponto A ao ponto B em movimento retilíneo. Durante o mesmo intervalo de tempo, a sombra de sua cabeça, projetada no solo horizontal,vai do ponto B ao ponto C:

Conhecendo os ângulos α e β (α = 60° e β = 30°), determine a relação

entre as velocidades escalares médias da sombra (vs) e do homem (vh).

Answer 1

Explicarei de duas maneiras
Primeiro vamos achar quanto o homem se deslocou por Pitágoras:
O ΔS dele o H são os catetos do triângulo retângulo
 ⇒ tg60 = H/d
     √3 = H/d
      H = d√3
      d = H/√3
      d = H√3/3
 
Agora é necessário saber o espaço BC percorrido pela sombra. Veja que temos outro triângulo que vai de A até C em que o ângulo do vértice C é 30º, podemos achar AC e subtrair AB para achar BC.

⇒tg30 = H/d'
√3/3 = H/d'
3H = d√3
d= 3H/√3
d = H√3

⇒Subtraindo AC - AB: 
H√3 - H√3/3 = 2H√3/3

Temos então que:
ΔS do homem = H√3/3
ΔS da sombra = 2H√3/3

Vm = ΔS/Δt

(I) Vh = (H√3/3)/Δt
(II) Vs = (2H√3/3)/Δt

A chave da questão é saber que os tempos são iguais, então vamos igualar

Isolando o tempo em cada equação:
(I) Δt = (H√3)/3Vh
(II) Δt = (2H√3)/3Vs

Por fim, igualando I e II:

(H√3)/3Vh = (2H√3)/3Vs

3Vs.H√3 = 2H√3.3Vh

3Vs = 6Vh

→Vs = 2Vh←

obs: Um modo muito mais simples, sabendo que a sombra percorre uma distância no mesmo tempo era observar que o ΔS da sombra é 2 vezes o ΔS do homem, logo as velocidades têm que obedecer essa proporção. :)