Question

Integral indefinida

No finalzinho, tem que fazer uma simplificação na raiz, não entendi muito bem, fico agradecido quem me ajudar.

$\int\ {}(8x^3-6x^3+5x- \frac{1}{x^3}+x \sqrt{x}-2) \, dx$

Answer 1

Olá Lucas!

Primeiramente, iremos somar termos comuns no integrando:

8x³ -6x³ = 2x³
-------------------

Agora, iremos reescrever 1/x³ = x⁻³

E

$x \sqrt{x} = x*x ^\frac{1}{2} = x ^\frac{1}{2} ^+^1 = x^ \frac{3}{2}$

Substituindo em nossa integral essas informações:

$\int\limits 8x^3-6x^3+5x- \frac{1}{x^3} +x \sqrt{x} -2 {} \, dx = \int\limits 2x^3+5x-x^-^3+x^ \frac{3}{2} -2 {} \, dx$

Usando regra de integração por potência e por constante:

$\\ \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} +C \\ \\ \int\limits {k} \, dx = kx+C$
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Usando integração de constante em -2, e por potência nos demais:

$\\ \int\limits 2x^3+5x-x^-^3+x^ \frac{3}{2} -2 {} \, dx = \frac{2x^3+^1}{3+1} + \frac{5x^1^+^1}{1+1} - \frac{x^-^3^+^1}{-3+1} + \frac{x^ \frac{3}{2}^+^1 }{\frac{3}{2}^+^1 } -2x \\ \\ = \frac{2x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} - \frac{x^-^2}{-2} + \frac{x^ \frac{5}{2} }{ \frac{5}{2} } -2x \\ \\ = \frac{x^4}{2} +\frac{5x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} + \frac{2x^ \frac{5}{2} }{5} -2x$

Agora passando x^(5/2) em formato de raiz.

2 como índice e 5 como potência:

$\\ = \frac{x^4}{2} +\frac{5x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} + \frac{2 \sqrt[2]{x^5} }{5} -2x$

Lembrando da constante "C"

$\\ = \frac{x^4}{2} +\frac{5x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} + \frac{2 \sqrt[2]{x^5} }{5} -2x +C$

Reescrevendo x⁵ = x²x²x

A raiz ficaria:

√x⁵ = √(x²x²x) = (√x²)(√x²)(√x) = 

Raiz de x² se cancelam...

√x⁵ = x*x√x = x²√x
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Substituindo:

$\\ \frac{x^4}{2} + \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} + \frac{2x^2 \sqrt{x} }{5} -2x+C$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \:8x^3-6x^3+5x-\frac{1}{x^3}+x\sqrt{x-2}dx\\\\\\=\int \:8x^3dx-\int \:6x^3dx+\int \:5xdx-\int \frac{1}{x^3}dx+\int \:x\sqrt{x-2}dx\\\\\\=2x^4-\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^2}{2}-\left(-\frac{1}{2x^2}\right)+\frac{2}{5}\left(x-2\right)^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}\\\\\\=2x^4-\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{5}\left(x-2\right)^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}$

$\sf \to \boxed{\sf =2x^4-\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{2}{5}\left(x-2\right)^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}\left(x-2\right)^{\frac{3}{2}}+C}$