• Matéria: Matemática
  • Autor: anap1995
  • Perguntado 9 anos atrás

Considere uma curva C que é uma hélice circular parametrizada como x(t) = cos t; y (t) = sen t; z(t)=1 sobre o valor integral c (x^2+ y ^2 -z) ds é correto afirmar que do ponto A(1, 0, 0) ao ponto B(1, 0, 2π) a integral de linha possui qual valor?


Lukyo: Correção ao enunciado. z(t) = t
não z(t) = 1. Do contrário não seria uma hélice, ok?
Lukyo: Correção ao enunciado. z(t) = t,
não z(t) = 1. Do contrário, a curva não seria uma hélice, ok?
Lukyo: Integral de linha sobre curva paramerizada.

Respostas

respondido por: Lukyo
10
Calcular

\displaystyle\int_C\! (x^2+y^2-z)\,ds

sendo C a curva parametrizada dada por

C(t)=(\cos t,\,\mathrm{sen\,}t,\,t)

______________

• Para t=0, o ponto inicial é

C(0)=(\cos 0,\,\mathrm{sen\,}0,\,0)\\\\C(0) = (1,\,0,\,0);


• Para t=2\pi, o ponto final é

C(2\pi)=(\cos 2\pi,\,\mathrm{sen\,}2\pi,\,2\pi)\\\\C(2\pi) = (1,\,0,\,2\pi).

_______________

• Encontrando o vetor tangente C'(t) e calculando o seu módulo:

C'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(\cos t,\,\mathrm{sen\,}t,\,t\big)\\\\
C'(t)=\big(\!-\mathrm{sen\,}t,\,\cos t,\,1\big)


O módulo do vetor tangente:

\|C'(t)\|=\left\|(-\mathrm{sen\,}t,\,\cos t,\,1)\right\|\\\\
\|C'(t)\|=\sqrt{(-\mathrm{sen\,}t)^2+(\cos t)^2+1^2}\\\\
\|C'(t)\|=\sqrt{\mathrm{sen^2\,}t+\cos^2 t+1}\\\\
\|C'(t)\|=\sqrt{1+1}\\\\
\|C'(t)\|=\sqrt{2}\,,~~~~\text{para todo }t\in \left[0,\,2\pi\right].

_______________

Montando a nossa integral de linha:

\displaystyle\int_C (x^2+y^2-z)\,ds\\\\\\
=\int_0^{2\pi} \big((\cos t)^2+(\mathrm{sen\,}t)^2-t\big)\cdot \left\|C'(t)\right\|dt\\\\\\
=\int_0^{2\pi} \big(\cos^2 t+\mathrm{sen^2\,}t-t\big)\cdot \sqrt{2}\,dt\\\\\\
=\int_0^{2\pi} (1-t)\cdot \sqrt{2}\,dt\\\\\\
=\sqrt{2}\cdot \left.\left(t-\frac{t^2}{2}\right)\right|_0^{2\pi}

=\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-\dfrac{(2\pi)^2}{2}\right)\\\\\\
=\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-\dfrac{4\pi^2}{2}\right)\\\\\\ =\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-2\pi^2\right)\\\\\\ =\sqrt{2}\cdot 2\pi(1-\pi)\\\\\\\\
\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}
\displaystyle\int_C (x^2+y^2-z)\,ds=2\sqrt{2}\,\pi\cdot \left(1-\pi\right)\
\end{array}}


Bons estudos! :-)

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