Question

determine a e b na equação 2x^3+ax^2+bx-2=0,sabendo que 1/2 e -2 sao raizes

Answer 1

Vamos lá.

Veja, CarlaMaria, que: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz.
Então, se substituirmos o "x" da equação da sua questão por "1/2" e depois por "-2", em ambas as ocasiões, a equação zerará.
Então vamos ver.

i) Substituindo "x' por "1/2" na equação abaixo:

2x³ + ax² + bx - 2 = 0 ----- substituindo "x' por "1/2", teremos:
2*(1/2)³ + a*(1/2)² + b*(1/2) - 2 = 0 ---- desenvolvendo, temos:
2*1/8 + a*1/4 + b/2 - 2 = 0 --- ou:
2/8 + a/4 + b/2 - 2 = 0 ----- mmc entre 2, 4 e 8 = 8. Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador. O resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

1*2 + 2*a + 4*b - 8*2 = 8*0
2 + 2a + 4b - 16 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
2a + 4b - 14 = 0
2a + 4b = 14 ---- dividindo ambos os membros por "2", ficaremos:
a + 2b = 7
a = 7 - 2b    . (I)

ii) Substituindo-se "x" por "-2" na equação abaixo:

2x³ + ax² + bx - 2 = 0 ---- substituindo-se "x" por "-2", teremos:
2*(-2)³ + a*(-2)² + b*(-2) - 2 = 0
2*(-8) + a*4 - 2b - 2 = 0
- 16 + 4a - 2b - 2 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
4a - 2b - 18 = 0
4a - 2b = 18 ---- dividindo-se ambos os membros por "2", ficamos:
2a - b = 9    . (II)

iii) Mas veja que já encontramos que a = 7 - 2b, conforme vimos na expressão (I). Então vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "a" por "7-2b".
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

2a - b = 9 ---- substituindo-se "a" por "7-2b", ficaremos:
2*(7-2b) - b = 9
14-4b - b = 9
14 - 5b = 9
- 5b = 9 - 14
- 5b = -5 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", temos:
5b = 5
b = 5/5
b = 1   <--- Este é o valor de "b".

Agora, para encontrar o valor de "a", vamos na expressão (I), que é esta:

a = 7 - 2b ---- substituindo-se "b' por "-1/5", temos:
a = 7 - 2*1
a = 7 - 2
a = 5  <--- Este é o valor de "a".

iii) Assim, resumindo, temos que:

a = 5; e b = 1  <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.