Question

Resolva a inequação modular |x2 - 3x - 4| > 3x

Answer 1

$|x^2-3x-4|>3x$


É óbvio que todo $x$ negativo é solução da inequação acima, pois

do lado esquerdo, temos o módulo de um número real, que é sempre ≥ 0;

do lado direito, temos 3x, que será um número < 0.

_____________

• Então, vamos resolver a inequação para x ≥ 0. Dessa forma, temos

$0\le 3x<|x^2-3x-4|\\\\ \begin{array}{rcl} x^2-3x-4>3x&~\text{ ou }~&x^2-3x-4<-3x\\\\ x^2-3x-4-3x>0&~\text{ ou }~&x^2-3x-4+3x<0\\\\ x^2-6x-4>0&~\text{ ou }~&x^2-4<0\\\\ x^2-6x>4&~\text{ ou }~&x^2<4\\\\ x^2-6x+9>4+9&~\text{ ou }~&x^2<4\\\\ (x-3)^2>13&~\text{ ou }~&x^2<4\\\\ |x-3|>\sqrt{13}&~\text{ ou }~&|x|<\sqrt{4} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} |x-3|>\sqrt{13}&~\text{ ou }~&|x|<2\\\\ \end{array}\\\\ \begin{array}{l} \bullet\;\;x-3>\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;\;x-3<-\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;\;-2<x<2 \end{array}\\\\\\ \underline{~~~~~~}\\\\ \begin{array}{l} \bullet\;\;x>3+\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;\;x<3-\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;\;-2<x<2 \end{array}$


Como estamos considerando apenas as soluções não negativas, descartamos a porção em que $x<0,$ e ficamos com

$\begin{array}{l} \bullet\;\;x>3+\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;\;0\le x<2 \end{array}$

_________________

Juntando com todas as soluções negativas, finalmente obtemos o conjunto solução para a inequação modular dada inicialmente:

$\begin{array}{l} \bullet\;\;x>3+\sqrt{13}\,;\text{ ou}\\\\ \bullet\;x<2 \end{array}$


Conjunto solução:

$S=\big\{x\in\mathbb{R}:~~x<2~\text{ ou }~x>3+\sqrt{13}\big\}$


ou usando a notação de intervalos

$S=\big]\!\!-\infty,\,2\big[~~\cup~~\big]3+\sqrt{13},\,+\infty\big[$


Bons estudos! :-)