Question

Um número tem dois algarismos, sendo que o algarismo das dezenas é maior que o das unidades. Se dividirmos esse número pela soma dos algarismos, o quociente obtido será 7 e o resto 9, se invertemos a ordem dos algarismos desse número e dele subtrairmos 6 unidades, e desse número resultante dividirmos pela diferença dos algarismos, o quociente será 5 e o resto 3. Qual é o número?

Answer 1

Seja n o número desconhecido, sabemos que n é formado por dois algarismos a e b

com a > b

sendo a o algarismo das dezenas;

b o algarismo das unidades.

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Como o nosso sistema de numeração é decimal, devemos ter

n = 10a + b      (i)

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Se dividirmos n pela soma (a + b), obteremos quociente 7 e resto 9.

dividendo = divisor × quociente + resto      (resto < divisor)

n = (a + b) × 7 + 9      (9 < a + b)

10a + b = 7(a + b) + 9

10a + b = 7a + 7b + 9

10a + b – 7a – 7b = 9

3a – 6b = 9

3(a – 2b) = 9

a – 2b = 9/3

a – 2b = 3      (ii)

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Se invertermos a ordem dos algarismos obteremos o número m:

m = 10b + a      (iii)


Novamente, fazendo a divisão de acordo com o enunciado,

dividendo = divisor × quociente + resto      (resto < divisor)

m – 6 = (a – b) × 5 + 3      (3 < a – b)

(10b + a) – 6 = 5(a – b) + 3

10b + a – 6 = 5a – 5b + 3

10b + a – 5a + 5b = 3 + 6

– 4a + 15b = 9      (iv)

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Resolvendo o sistema formado pelas equações (ii) e (iv):

$\left\{\! \begin{array}{cclc} a-2b&\!\!=\!\!&3&~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ -4a+15b&\!\!=\!\!&9&~~~~\mathbf{(iv)} \end{array} \right.$


Multiplique por 4 a equação (ii):

$\left\{\! \begin{array}{ccr} 4a-8b&\!\!=\!\!&12\\\\ -4a+15b&\!\!=\!\!&9 \end{array} \right.$


Somando as equações membro a membro, ficamos com

– 8b + 15b = 12 + 9

7b = 21

b = 21/7

b = 3


Substituindo na equação (ii) o valor de b, obtemos

a – 2 · 3 = 3

a – 6 = 3

a = 3 + 6

a = 9

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Portanto os algarismos que formam o número são

a = 9    e    b = 3


e o número procurado é

n = 93     <——  este é o resultado


Bons estudos! :-)