Question

plano α que passa pelo ponto A = (1,0,2) é perpendicular aos planos π1: 3x-2y-z-6+0 e π2: x-2y+4z-3=0 . determinar a equaçao do plano α

Answer 1

Olá!
  
     Seja $\alpha$  o plano procurado.
     Como $\alpha$  deve ser ortogonal aos planos $\pi_1$  e $\pi_2$  , então seu vetor normal deve ser ortogonal aos vetores normais destes planos, isto é, será um múltiplo do produto vetorial destes vetores. Sejam $\vec{n_1}$  e  $\vec{n_2}$  os vetores normais a $\pi_1$  e  $\pi_2$  , respectivamente. Temos:

$\vec{n_1}=(3,-2,-1)$  e  ${\vec{n_2}=(1,-2,4)$

Encontremos $\vec{n}$  :

$\vec{n}= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-2&-1\\1&-2&4\end{array}\right|= (-8i-2i,-j-12j,-6k+2k) \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \vec{n}=(-10,-13,-4)$

Encontramos o vetor normal a $\alpha$  . Para completar a equação do plano $\alpha$  , falta determinar o termo independente. Para isso, utilizemos o ponto dado, visto que tal plano deve passar por ele. Logo, o plano $\alpha$  é dado por $-10x-13y-4z+d=0$ e, portanto, temos que


$A=(1,0,2)\in\alpha\Leftrightarrow -10(1)-13(0)-4(2)+d=0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow -10-8+d=0\Leftrightarrow d=18$

Portanto, o plano procurado é:

$\boxed{\alpha:-10x-13y-4z+18=0}$

Bons estudos!