Question

resolva a inequação
-2 < 3x - 6/ 4-x <_ 2
resposta: { X E R| x < 0 }

Answer 1

Vamos lá.

Então, Duda, como você já informou que copiou a resposta errada, então vamos desenvolver a inequação dada, que é a que abaixo consideramos e que é esta:

- 2 < (3x-6)/(4-x) ≤ 2  

Vamos dividir a expressão acima em duas inequações. Depois veremos qual será a intersecção entre as respostas de cada uma delas e veremos qual é a intersecção, que será a resposta final.

i) Primeira inequação:

(3x-6)/(4-x) > - 2 ----- passando "-2" para o 1º membro da desigualdade, teremos;
(3x-6)/(4-x) + 2 > 0 ----- mmc = 4-x. Assim, utilizando-o, teremos:
[1*(3x-6) + (4-x)*2]/(4-x) > 0
[(3x-6) + (8-2x)]/(4-x) > 0 ---- retirando-se os parênteses que estão dentro dos colchetes, teremos:

(3x-6 + 8-2x)/(4-x) > 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
(x + 2)/(4 - x) > 0

Veja que ficamos com o quociente entre duas equações do 1º grau: f(x) = x+2; e g(x) = 4-x. Encontraremos as raízes de cada uma delas. Depois, em função de suas raízes, veremos qual é a variação de sinais de cada uma. Assim:

f(x) = x + 2 ---> raízes: x+2 = 0 ------> x = - 2
g(x) = 4-x ---> raízes: 4-x = 0 ---> -x = - 4 ----> x = 4.

Agora vamos à variação de sinais:

a) f(x) = x + 2 ... - - - - - - - - - -(-2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = 4 - x... + + + + + + + + + + + + + + + (4)- - - - - - - - - - - - - - - ...
c) a/b ..............- - - - - - - - - - (-2)+ + + + + + +(4) - - - - - - - - - - - - - - - ....

Como queremos que que f(x)/g(x) seja maior do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais no item "c" acima, que nos fornece o resultado dessa divisão. Assim, prevalecerá para esta primeira inequação o seguinte domínio:

-2 < x < 4 --------- Esta será a resposta para a 1ª inequação.

ii) Segunda inequação:

(3x-6)/(4-x) ≤ 2 ---- passando "2" para o 1º membro da desigualdade, teremos;
(3x-6)/(4-x) - 2 ≤ 0 ----- mmc = (4-x). Assim, utilizando-o, teremos:
[1*(3x-6) - (4-x)*(2)]/(4-x) ≤ 0 ----- ou:
[(3x-6) + (8-2x)]/(4-x) ≤ 0 ---- retirando-se os parênteses dentro dos colchetes, teremos;
(3x-6 - 8 + 2x)/(4-x) ≤ 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(5x - 14)/(4-x) ≤ 0 .

Veja que ficamos, agora, com as funções f(x) = 5x-14 e g(x) = 4-x, cujas raízes são:

f(x) = 5x-14 ---> raízes: 5x-14 = 0 ---> 5x = 14 ---> x = 14/5
g(x) = 4-x ---> raízes: 4-x = 0 ---> -x = - 4 ---> x = 4.

Vamos à variação de sinais desta segunda inequação:

a) f(x) = 5x-14...- - - - - - - - - - (14/5)+ + + + + + + + + + + + +....
b) g(x) = 4-x ...+ + + + + + + + + + + + + + + + + (4)- - - - - - - -...
c) a/b . . . . . . .- - - - - - - - - - - (14/5)+++++++++ (4) - - - - - - - -....

Como agora queremos que f(x)/g(x) seja MENOR ou igual a zero, então só valerá o que estiver com o sinal de MENOS no item "c" acima, que nos dá o resultado de f(x) sobre g(x). Assim:

x < 14/5 , ou x > 4 ------ Isto é o que vale para a segunda inequação.

iii) Agora vamos marcar o que vale para cada uma das inequações (1ª e 2ª) com o símbolo / / / / / / / / /. E marcaremos a intersecção entre elas com o símbolo:  | | | | | | |.

Assim teremos;

1ª inequação: _____ (-2) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (4)________
2ª inequação:  / / / / / / / / / / / / / (14/5) ___________(4)/ / / / / / / / / / ...
Intersecção: .._____(-2)| | | | | | | |(14/5) _____________________


Como você viu aí em cima, a intersecção ficou entre (-2) e 14/5. Logo, a resposta será (domínio):

D = {x ∈ R | -2 < x < 14/5} ----- Pronto. Esta será a resposta, como já informamos que seria.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.