Question

Determine as coordenadas do ponto P situado sobre a curva (x-3)²+(y-6)²=20 que está a distância mínima do ponto (-2, -4).

Answer 1

Circunferência => (x-3)²+(y-6)²

Centro da circunferência => (3,6)
Ponto => (-2,-4)

Primeiramente vamos calcular a reta que passa pelo ponto e pelo centro da circunferência.

Calculando:

M=Y2-Y1/X2-X1
M=-4-6/-2-3
M=-10/-5
M=2

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-6=2(X-3)
Y-6=2X-6
Y=2X-6+6
Y=2X <= Equação da reta

Agora, vamos achar o ponto de intersecção entre a reta e a circunferência.

Reta => Y=2X
Circunferência => (x-3)²+(y-6)²

Substituindo:

(x-3)²+(y-6)²=20
(X-3)²+(2X-6)²=20
X²-6X+9+4X²-24X+36=20
5X²-30X+45-20=0
5X²-30X+25=0 (/5)
X²-6X+5=0 

As raízes dessa equação serão: X'=1 e X''=5

-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar X''=5, pois esta abscissa é maior que X'=1.

Portanto, a abscissa mínima do ponto de intersecção entre a reta e a circunferência é: 1

Calculando a ordenada:

(x-3)²+(y-6)²=20
(1-3)²+(y-6)²=20
-2³+Y²-12Y+36-20=0
4+Y²-12Y+16=0
Y²-12Y+20=0

As raízes dessa equação serão: Y'=2 e Y''=10

-Como o problema está pedindo a distância mínima, devemos desprezar Y''=10, pois esta ordenada é maior que Y''=2

Ponto de intersecção entre a reta e a circunferência => (1,2)

A distância do ponto (-2,-4) até o ponto (1,2), será a resposta do problema.

Calculando a distância de um ponto até o outro:

D²=(X2-X1)²+(Y2-Y1)²
D²=(1-(-2))²+(2-(-4))²
D²=3²+6²
D²=9+36
D²=45
D=√45 <= Resposta