Question

Considerem-se as combinações de p elementos tomados m a m. A razão entre o número de combinações em que figura um certo elemento e o número de combinações em que esse elemento não figura , é dada por :

->$\frac{m}{p-m}$ , essa seria a resposta eu achei $\frac{m}{p}$ , queria analisar o cálculo de alguém que fizesse a questão

Answer 1

Como não utilizo o LaTeX na resolução ...espero que compreenda a resolução ..pois eu "adaptei-a" a possibilidade de digitação.

=> As combinações de "p" elementos tomados "m" a "m" ..resulta em 

C(p,m) ...ou    p!/m!(p - m)!


 => As número de combinações em que esse elemento não figura ...resulta em:

C(p, m-1) ...ou    p!/(m-1)!(p - m - 1)!


A razão entre ambas será dada por:

Razão = C(p, m-1) / C(p,m)

Razão = [p!/(m-1)!(p - m - 1)!] / [p!/m!(p - m)!]

...para simplificar vamos transformar esta divisão ..em multiplicação ..como a multiplicação não significa "exatamente" uma razão ..vamos colocar ".." na palavra "Razão" durante este cálculo, assim (invertendo a 2ª fração):

"Razão" = [p!/(m-1)!(p - m - 1)!] . [m!(p - m)!/p!]

..multiplicando membro a membro:

"Razão" = [p!m!(p - m)!] / [(m-1)!(p - m - 1)!p!]

..eliminando o elemento "p!" resulta em..

"Razão" = [m!(p - m)!] / [(m-1)!(p - m - 1)!]

..desenvolvendo os fatoriais ..resulta em:

"Razão" = [m. (m-1)!(p - m)(p - m - 1)!] / [(m-1)!(p - m - 1)!]

...simplificando os elementos "(m - 1)!" ..e "(p - m - 1)!" ...resulta em:

"Razão" = m . (p - m)

...mas recordando o "passo inicial" ..temos de transformar este resultado novamente numa Razão ...pelo que temos de efetuar de novo a inversão do 2º termo ...donde resulta:

Razão = (m) . [1/(p - m)]

Razão = m/(p - m)


Espero ter ajudado