Question

1) Determine o domínio da função real y=f(x)= ³√3x+1

2) Determine o conjunto solução das inequações:

a) -7 ≤ X + 5 < 2
b) x-3/2-3x ≥ 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Rafa, que as resoluções são simples.

1) Determine o domínio da função real abaixo:

f(x) = ∛(3x+1)

Note: quando o índice do radical é ímpar, então ele aceita qualquer radicando, quer seja ele positivo , quer negativo.
Logo, o domínio da função acima, considerando que o índice do radical é ímpar, serão todos os reais. Ou seja, "x" poderá assumir qualquer valor real. Assim, o domínio serão todos os Reais, o que você poderá apresentar da seguinte forma:

D = {x ∈ R}

2) Determine o conjunto-solução (ou o domínio) das inequações abaixo:

a)

- 7 ≤ x + 5 < 2

Veja: o nosso intento é deixar o "x" sozinho no membro do meio. Dessa forma, faremos o seguinte: subtrairemos "5" de cada membro, ficando assim:

- 7 - 5 ≤ x+5-5 < 2 - 5 ------ desenvolvendo cada membro, teremos:
- 12 ≤ x < -3 ------ Pronto. Esta é a resposta para o item "a" da 2ª questão.

b)

(x-3)/(2-3x) ≥ 0 

Note que temos aqui uma inequação-quociente, ou seja, temos a divisão entre duas equações do 1º grau, cujo resultado deverá ser MAIOR ou igual a zero. Temos f(x) = x-3; e temos g(x) = 2-3x.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações . Depois analisaremos a variação de sinais de cada uma delas. E, no fim, veremos qual é o resultado da divisão de f(x) por g(x), em função da análise da variação de sinais delas duas, em função de suas raízes.
Então teremos:

f(x) = x-3 ---> raízes: x - 3 = 0 ---> x = 3
g(x) = 2-3x ---> raízes: 2-3x = 0 ---: - 3x = - 2 ---> 3x = 2 ---> x = 2/3.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações acima, em função de suas raízes. Logo:

a) f(x) = x - 3 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + + + + + ...
b) g(x) = 2-3x.... + + + + + + (2/3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ....
c) a/b . . . . . . . . - - - - - - - -  (2/3) + + + + +(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - -  ...

Como queremos que o quociente f(x)/g(x) seja MAIOR ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).

Assim, a resposta será o intervalo:

2/3 < x ≤ 3 ------ Esta é a resposta. Este é o intervalo que dá o domínio da inequação dada.

Aí você poderá perguntar: por que "x' é apenas maior do que "2/3" e, no entanto, é menor ou igual a "3"?
Resposta: porque 2/3 é raiz da função do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser igual a "2/3", estaríamos admitindo divisão por zero e isto não existe. Por isto o domínio da inequação dada é o que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.