Question

Mostre que na equação do 2° grau ax² + bx + c=0 , de raízes reais x1 e x2, temos para soma das raízes S= x1 +x2 = $\frac{-b}{a}$ e para o produto P das raízes P=x1 . x2 = $\frac{c}{a}$

já vi varias resoluções desse caso só que em nenhuma delas conseguir entender como se chego a resolução

Answer 1

Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que as raízes de uma equação do segundo grau são:

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~~~e~~~x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

Calculando a soma S:

$S=x_1+x_2\iff S=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\iff S=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\iff S=\dfrac{-2b}{2a}\\\\ \iff \boxed{S=-\dfrac{b}{a}}$

Calculando o produto P:

$P=x_1\cdot x_2\iff P=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\times\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\iff P=\dfrac{(-b+\sqrt{\Delta})\times(-b-\sqrt{\Delta})}{4a^2}\\\\\iff P=\dfrac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}\iff P=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}\\\\\iff P=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\iff P=\dfrac{4ac}{4a^2}\iff\boxed{P=\dfrac{c}{a}}$

Answer 2

Vejamos A equação do 2° grau é definida por duas raízes: x' = -b - √∆ / 2a x'' = -b + √∆ / 2a Assim, teremos: Soma das raízes: S = x' + x'' S = (-b - √∆)/2a + (-b + √∆)/2a S = -2b/2a S = -b/a Produto das raízes: P = x' . x'' P = (-b - √∆)/2a . (-b + √∆)/2a P = b^2 - (√∆)^2/4a^2 P = b^2 - ∆ / 4a^2 P = (b^2 - (b^2 - 4ac)/4a^2 P = (b^2 - b^2 + 4ac)/4a^2 P = 4ac/4a^2 P = c/a