Question

Seja An = [ ∑  ] $C_{n,p} . ( 2^p.3^n^-^p-4^p)$. Então para todo n > 0 , tem-se :

-> Onde ∑ representa o somatório de todos os números variando de p = 0 até n
-> C representa Combinação ( a fórmula de analise combinatória ) não consegui representar de outras maneira

a) An = 0
b) An = $2^n.3^n-4^n$
c) An = n
d) An = $C_{n,2} . C_{n,3} - C_{n,4}$
e) nenhuma das anteriores

Answer 1

Olá, Ludeen. :-)


$\displaystyle A_n=\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot (2^p\cdot 3^{n-p}-4^p)\\\\\\ =\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot (3^{n-p}\cdot 2^p-1\cdot 4^p)~~~~~~(\text{mas }1=1^{n-p})\\\\\\ =\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot (3^{n-p}\cdot 2^p-1^{n-p}\cdot 4^p)$


Aplicando a distributiva,

$\displaystyle=\sum_{p=0}^{n} \big(C_{n,\,p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^p-C_{n,\,p}\cdot 1^{n-p}\cdot 4^p\big)\\\\\\ =\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^p-\sum_{p=0}^{n}C_{n,\,p}\cdot 1^{n-p}\cdot 4^p~~~~~~\mathbf{(i)}$

_________

Comparando os somatórios em $\mathbf{(i)}$ com a expansão do Binômio de Newton,

$\displaystyle(a+b)^n=\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot a^{n-p}\cdot b^p$


vemos que cada um dos somatórios são

$\displaystyle\sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^p=(3+2)^n\\\\\\ \sum_{p=0}^{n} C_{n,\,p}\cdot 1^{n-p}\cdot 4^p=(1+4)^n$


Então, $\mathbf{(i)}$ fica

$=(3+2)^n-(1+4)^n\\\\ =5^n-5^n\\\\ =0~~~~\text{para todo }n \in\mathbb{N}$


Resposta: alternativa $\text{a) }A_n=0.$


Bons estudos! :-)