Question

Ensino superior- cálculo 4 ajuda pf

Encontre um número a tal que (x^2+y^2)dx + (axy + y4)dy=0 é exata e em seguida resolve-la

Resolva x'=4t^3√x. >=0 X(0)=1

Answer 1

• Encontrar um número real $a,$ de forma que a EDO

$(x^2+y^2)dx+(axy+y^4)dy=0$

seja exata.


Temos uma EDO escrita na forma

$P(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=0$

onde

$\left\{ \!\begin{array}{l} P(x,\,y)=x^2+y^2\\\\ Q(x,\,y)=axy+y^4 \end{array} \right.$


Para que a EDO seja exata, devemos ter

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\\\\\\ \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=\dfrac{\partial}{\partial x}(axy+y^4)\\\\\\ 2y=ay\\\\ 2y-ay=0\\\\ y\cdot (2-a)=0$


Vemos que $a=2$ satisfaz a igualdade acima.


Resolvendo a EDO resultante, já sabendo que ela é exata:

$(x^2+y^2)dx+(2xy+y^4)dy=0$

$\left\{ \!\begin{array}{l} P(x,\,y)=x^2+y^2\\\\ Q(x,\,y)= 2xy+y^4 \end{array} \right.$


Existe uma função $\varphi(x,\,y),$ tal que

$\left\{ \!\begin{array}{l} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=x^2+y^2\\\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=2xy+y^4 \end{array} \right.$


Primitivando em $x$ ambos os lados da equação $\mathbf{(i)},$ temos

$\varphi(x,\,y)=\dfrac{x^3}{3}+xy^2+g(y)~~~~~~\mathbf{(iii)}$


onde $g(y)$ é uma função apenas de $y.$


Derivando os dois lados de $\mathbf{(iii)}$ em relação a $y,$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=2xy+g'(y)\\\\\\ 2xy+y^4=2xy+g'(y)\\\\ g'(y)=y^4\\\\ g(y)=\dfrac{y^5}{5}$


Portanto,

$\varphi(x,\,y)=\dfrac{x^3}{3}+xy^2+\dfrac{y^5}{5}$


e a solução geral da EDO é dada implicitamente por

$\varphi(x,\,y)=C_1\\\\ \dfrac{x^3}{3}+xy^2+\dfrac{y^5}{5}=C_1\\\\ 15\cdot\left(\dfrac{x^3}{3}+xy^2+\dfrac{y^5}{5} \right )=15C_1\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}5x^3+15xy^2+3y^5=C \end{array}}~~~~~~(\text{onde }C=15C_1)$

_________

• Resolver a EDO (esta é de variáveis separáveis)

$x'(t)=4t^3\sqrt{x}\\\\ \dfrac{dx}{dt}=4t^3\sqrt{x}\\\\\\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}}=4t^3\,dt\\\\\\ x^{-1/2}\,dx=4t^3\,dt$


Tomando as primitivas dos dois lados,

$\displaystyle\int\!x^{-1/2}\,dx=\int\!4t^3\,dt\\\\\\ \dfrac{x^{-1/2+1}}{-\,\frac{1}{2}+1}=t^4+C_1\\\\\\ \dfrac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}=t^4+C_1\\\\\\ 2\sqrt{x}=t^4+C_1\\\\\\ \sqrt{x}=\dfrac{t^4}{2}+\dfrac{C_1}{2}\\\\\\ \sqrt{x}=\dfrac{t^4}{2}+C$


Para encontrar a constante $C,$ aplicamos a condição dada:

$x(0)=1\\\\ \sqrt{x(0)}=\sqrt{1}\\\\ \dfrac{0^4}{2}+C=\sqrt{1}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} C=1 \end{array}}$


Portanto, a solução procurada satisfaz

$\sqrt{x}=\dfrac{t^4}{2}+1\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x(t)=\left(\dfrac{t^4}{2}+1 \right )^{\!\!2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)