Question

U e W são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6

 

Dadas as proposições:   

I) dim (U + W) pode ser igual a 8

II) dim (U + W) pode ser igual a 6

III) dim (U + W) pode ser igual a 5

 

Assinale a alternativa correta:

 

A) (I), (II) e (III) estão corretas

B) (I), (II) e (III) estão erradas

C) apenas (I) está correta

D) apenas (II) e (III) estão corretas

E) apenas (I) e (III) estão corretas

Answer 1

Olá, ibcf22.

 

Dado um espaço vetorial  $V$  qualquer, define-se a soma de dois subespaços seus  $U$  e  $W,$  denotada por  $U + W,$  como o conjunto de todos os vetores da forma  $u + w,$

onde  $u\in U$  e $w\in W$, ou seja:

 

$<var>U+W=\{u+w, u\in U, w\in W \}</var>$

 

Se  $\text{dim}(U)=4$  e  $\text{dim}(W)=4,$  então os vetores  $u\in U$  e  $w\in W$  possuem ambos 4 coordenadas.

 

Portanto,  $u+w\in U+W$ também possui 4 coordenadas, pois:

 

$<var>u+w=(u_1,u_2,u_3,u_4)+(w_1,w_2,w_3,w_4)=\\\\ =(u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3,u_4+w_4)</var>$

 

$<var>\therefore\boxed{\text{dim}(U+W)=4}</var>$ 

 

 

Resposta: letra B (I, II e III estão erradas)