Question

ATIVIDADE DE MATEMÁTICA! (Foto da segunda questão esta em anexo)

1º Se a . b = 0, então a = 0 ou b = 0, Encontre a solução comum das duas equações lineares que se podem obter de (2x + y)( -x + 3y) = 0.

2º As retas r e s são, respectivamente, as representações gráficas das equações mx - 2y = 2 e x + ny = 6.

Determine m, n e as coordenadas de P.

Answer 1

Questão 1.

Da equação dada

(2x + y)(– x + 3y) = 0


tiramos que

2x + y = 0    ou    – x + 3y = 0


A solução comum é a que satisfaz as duas equações acima. Resolvendo o sistema:

$\left\{\! \begin{array}{ccl} 2x+y&\!\!=\!\!&0\\\\ -x+3y&\!\!=\!\!&0 \end{array} \right.$

( é um sistema linear homogêneo )


Multiplicando a 2ª equação por 2,

$\left\{\! \begin{array}{ccl} 2x+y&\!\!=\!\!&0\\\\ -2x+6y&\!\!=\!\!&0 \end{array} \right.$


Somando as equações membro a membro,

y + 6y = 0

7y = 0

y = 0


Portanto,

x = 3y

x = 3 · 0

x = 0


A solução comum é o par (0, 0), que é a solução trivial do sistema.

_________

Questão 2.

Esqueçamos m e n por enquanto. Vamos encontrar as equações de r e s usando as informações do anexo.

Como temos as interseções das retas com os eixos, é bem simples determinar as equações das retas na forma segmentária:

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$


onde a e b são respectivamente a abscissa da interseção da reta com o eixo x e a ordenada da interseção da reta com o eixo y.


• Para a reta r,

a = 2    e    b = – 1


E a equação de r na forma segmentária é

$r:~\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}=1$


Efetuando algumas operações na equação acima, obtemos

$r:~\dfrac{-x}{-2}+\dfrac{2y}{-2}=1\\\\\\ r:~\dfrac{-x+2y}{-2}=1\\\\\\ r:~-x+2y=-2\\\\ r:~x-2y=2~~~~~~\mathbf{(i)}$


Comparando com a equação de $r$ dada no enunciado, tiramos

$\boxed{\begin{array}{c}m=1\end{array}}$


• Para a reta s

a = 6    e    b = 1


E a equação de r na forma segmentária é

$s:~~\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{1}=1$


Fazendo operações sobre a equação acima,

$s:~~\dfrac{x}{6}+\dfrac{6y}{6}=1\\\\\\ s:~~\dfrac{x+6y}{6}=1\\\\\\ s:~~x+6y=6~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Comparando com a equação de $s$ dada no enunciado, tiramos

$\boxed{\begin{array}{c}n=6 \end{array}}$

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Encontrando as coordenadas do ponto P, que é a interseção das retas r e s:

As coordenadas de P devem satisfazer o sistema

$\left\{ \!\begin{array}{lcl} x-2y&\!\!=\!\!&2\\\\ x+6y&\!\!=\!\!&6 \end{array} \right.$


Multiplicando a primeira equação por 3,

$\left\{ \!\begin{array}{ccl} 3x-6y&\!\!=\!\!&6\\\\ x+6y&\!\!=\!\!&6 \end{array} \right.$


Somando membro a membro,

$3x+x=6+6\\\\ 4x=12\\\\ x=\dfrac{12}{4}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=3 \end{array}}$


Portanto,

$3-2y=2\\\\ 2y=3-2\\\\ 2y=1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=\dfrac{1}{2} \end{array}}$


O ponto de interseção entre r e s é $P\left(3,\;\dfrac{1}{2}\right).$


Bons estudos! :-)