Question

40 pontos! Geometria analitica
Se o baricentro do triangulo MNP, M(1,2), N(0,1) e P(-1,-3) e os pontos A=(a,1) e B=(1,b) estão alinhados, então:







resposta->ab=1

Answer 1

Oi

Primeiramente, vamos calcular o baricentro do triângulo.

A fórmula que usaremos para achar o baricentro do triângulo MNP é esta:

$G=( \frac{Xm+Xn+Xp}{3}),( \frac{Ym+Yn+Yp}{3})$

Pontos que temos:

M(1,2)
N(0,1)
P(-1,-3)

Substituindo essas coordenadas dos pontos na fórmula:

$G=( \frac{Xm+Xn+Xp}{3}),( \frac{Ym+Yn+Yp}{3})\\\\ G=( \frac{1+0+(-1)}{3}),( \frac{2+1+(-3)}{3})\\\\ G=( \frac{0}{3}),( \frac{0}{3})\\\\ G=(0,0)$

Encontramos que as coordenadas do baricentro do triângulo MNP é: G(0,0)

O baricentro está situado na origem do plano cartesiano (0,0).

O problema quer que encontramos os valores de 'a' e 'b' para que os pontos A, B e o baricentro estejam alinhados.

Usaremos o método do determinante para calcular os valores de 'a' e 'b'.

Pontos que usaremos:

A(a,1)
B(1,b)
G(0,0)

Montando o determinante 3x3.

$\left[\begin{array}{ccc}Ax&Ay&1\\Bx&By&1\\Gx&Gy&1\end{array}\right]\\\\\ \left[\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&b&1\\0&0&1\end{array}\right]$

Calculando o determinante:

$\left[\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&b&1\\0&0&1\end{array}\right]=0\\\\\ (1*b*0)+(1*0*a)+(1*1*1)-(a*b*1)-(1*1*0)-(1*1*0)\\ 0+0+1-ab-0-0=0\\ 1-ab=0\\ ab=1$