Question

Resolva utilizando o escalonamento.
$\left \{ {-x+3y-z= 1{} \atop {x+y+z= -7}} \right.$

Answer 1

$\left\{ \!\begin{array}{ccl} -x+3y-z&\!\!=\!\!&1\\\\ x+y+z&\!\!=\!\!&-7 \end{array} \right.$


Multiplique os dois lados da 1ª e da 2ª equação (– 1):

$\left\{ \!\begin{array}{ccl} x-3y+z&\!\!=\!\!&-1\\\\ -x-y-z&\!\!=\!\!&7 \end{array} \right.$


Substitua a 2ª equação, pela soma da 1ª com a 2ª:

$\left\{ \!\begin{array}{ccl} x-3y+z&\!\!=\!\!&-1\\\\ 0x-4y+0z&\!\!=\!\!&7 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{ \!\begin{array}{rcl} x-3y+z&\!\!=\!\!&-1\\\\ -4y&\!\!=\!\!&6 \end{array} \right.$


Multiplique os dois lados da 2ª equação por – 1/4:

$\left\{ \!\begin{array}{rcl} x-3y+z&\!\!=\!\!&-1\\\\ y&\!\!=\!\!&-\,\dfrac{3}{2} \end{array} \right.$


Substitua o valor de $y$ na 1ª equação:

$x-3\cdot \left(-\,\dfrac{3}{2}\right)+z=-1\\\\\\ x+\dfrac{9}{2}+z=-1\\\\\\ z=-1-x-\dfrac{9}{2}\\\\\\ z=-x-\dfrac{2}{2}-\dfrac{9}{2}\\\\\\ z=-x-\dfrac{11}{2}$


Obtivemos z em função de x. Logo, o sistema tem infinitas soluções.


Para $x=\lambda \in\mathbb{R},$ as soluções do sistema são dadas por

$\left\{ \!\begin{array}{l} x=\lambda\\\\ y=-\,\dfrac{3}{2}\\\\ z=-\lambda-\dfrac{11}{2} \end{array} \right.\quad\quad\quad\text{com }\lambda\in\mathbb{R}$


Bons estudos! :-)