Question

calcule o comprimento da cord determinada pela intersecção da circunferencia x² +y² +6y=0 com a reta y-x-1=0

Answer 1

Primeiramente, vamos encontrar os dois pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Para isso, vamos usar o método da substituição.

Isolando o X da reta:

y-x-1=0X=Y-1

Substituindo na equação da circunferência:

X²+Y²+6y=0 
(Y-1)²+Y²+6Y=0
Y²-2Y+1+Y²+6Y=0
2Y²+4Y+1=0

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = 4² - 4 . 2 . 1 
Δ = 16 - 4. 2 . 1 
Δ = 8

Há 2 valores possíveis para Y.

2) Aplicando Bhaskara:

y = (-b +- √Δ)/2a
y' = (-4 +- √8)/2.2
y' = (-4 +- 2√2)/4
y' = (-4 + 2√2)/4
y' = -1 + √2/2 ou y' = -0,292

y'' = (-4 +- √8)/2.2
y'' = (-4 - √8)/4
y'' = -1 - √2/2 ou y'' = -1,7

Agora, vamos substituir os valores de Y da reta pelos que encontramos.

Para Y=-1 + √2/2

y-x-1=0
-1+√2/2-1=X
X=-2+√2/2 ou X=-1,29

Para Y=-1-√2/2 

y-x-1=0
-1-√8/4-1=X
X=-2-√2/2  ou X=2,71

Logo, os pontos de intersecção entre a reta e a circunferência são:

A(-2-√2/4,-1-√2/4 ) e B(-2+√2/2,-1 + √2/2)

Agora, vamos calcular a distância entre esses dois pontos e, assim, saberemos o comprimento entre as duas intersecções.

D²=(XB-XA)²+(YB-YA)²
D²=(-2+√2/2-(-2-√2/2))²+(-1+√2/2-(-1-√2/2))²
D²=(-2+√2/2+2+√2/2)²+(-1+√2/2+1+√2/2)
D²=(√2/2+√2/2)²+(√2/2+√2/2)²
D²=(√2+√2)²+(2(√2/2))²
D²=(2(√2/2))²+(2(√2/2))²
D²=(√2)²+(√2)²
D²=2+2
D²=4
D=√4
D=2

Portanto, o comprimento das intersecções vale 2