Question

Quantos números inteiros satisfazem a inequação 4 - x / 1 + x ≥ 0 ?

Answer 1

Resposta:  5 (cinco).

Explicação passo a passo:

Vamos resolver a inequação quociente:

    $\dfrac{4-x}{1+x}\ge 0\qquad\mathrm{(i)}$

• Condição de existência para a solução:

O denominador não pode ser igual a zero. Logo, devemos ter

    $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad 1+x\ne 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\ne -1\qquad\mathrm{(ii)} \end{array}$    

• Resolvendo a inequação:

Vamos montar o quadro de sinais para o numerador e o denominador da inequação (i):

O numerador é uma a função do 1º grau decrescente:

     $f(x)=4-x$

cuja raiz é $x=4.$

O denominador também é uma função do 1º grau, porém crescente:

    $g(x)=1+x$

Montando o quadro de sinais, temos

    $\begin{array}{ll} f(x)=4-x&\qquad\overset{++++++++++++++}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\textsf{------------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\ g(x)=1+x&\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\overset{0}{\circ}}\!\!\!\overset{++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\underset{4}{\bullet}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\\\\ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{4-x}{1+x}&\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-1}{\circ}\!\!\!\overset{+++++++++}{\textsf{------------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\end{array}$

Como queremos que o quociente seja maior ou igual que zero, o intervalo de interesse é

    $\Longrightarrow\quad -1 < x\le 4$

A solução são todos os números inteiros que satisfazem a condição acima:

    $S=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4\}$

e este conjunto possui 5 (cinco) elementos.

Bons estudos!