Question

letra a) ∫ ∫D y/(1 + x^2) dA

onde D é a região do plano xy limitada por

y = √x, y = 0 e x = 1

Answer 1

O ideal é integrar primeiro em y (isso é, na ordem dydx), para não precisarmos usar substituição trigonométrica (teríamos que usar caso fossemos integrar na ordem dxdy)

Daí, x varia em extremos fixos: $0\le x\le1$

Para cada x fixo, y varia de $0$ a $y=\sqrt{x}$

Então, pelo Teorema de Fubini:

$\displaystyle\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{x}}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dy\,dx\\\\\\\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{x}}\dfrac{1}{1+x^{2}}y\,dy\,dx$

Como estamos integrando em relação a y primeiramente, consideramos funções de x como constantes. Daí:

$\displaystyle\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^{2}}\bigg[\dfrac{y^{2}}{2}\bigg]_{y=0}^{y=\sqrt{x}}\,dx\\\\\\\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^{2}}\bigg[(\sqrt{x})^{2}-0^{2}\bigg]\,dx\\\\\\\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx$

Podemos integrar essa função fazendo uma substituição:

$u=1+x^{2}~~\rightarrow~~du=2x\,dx~~~\rightarrow~~x\,dx=\frac{1}{2}\,du\\\\\boxed{\boxed{\int\dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx=\int\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{1}{2}\,du=\dfrac{1}{2}ln|u|+C=\dfrac{1}{2}ln(1+x^{2})+C}}$

Logo:

$\displaystyle\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{2}\bigg[\dfrac{1}{2}ln(1+x^{2})\bigg]_{0}^{1}\\\\\\\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{4}\bigg[ln(1+1^{2})-ln(1+0^{2})\bigg]\\\\\\\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{4}\bigg[ln(1+1)-ln(1)\bigg]=\dfrac{1}{4}\bigg[ln(2)-0\bigg]\\\\\\\boxed{\boxed{\iint_{D}\dfrac{y}{1+x^{2}}\,dA=\dfrac{1}{4}\,ln(2)}}$