Question

São dadas duas progressões:uma P.A e outra P.G:sabe-se que:
Ambas tem 3 termos positivos
Em ambas,o 2 termo é 8
o 1 termo da p.g é igual ao 3 termo da p.a
a soma dos termos da p.g é 42
qual é o 1 termo da p.A?
Como se faz passo a passo?

Answer 1

Olá, Belaswan.

A PA, de acordo com os dados do exercício, pode ser escrita assim: (x, 8, y).
A PG, de acordo com os dados do exercício, pode ser escrita assim: (y, 8, z).

Como a razão na PA é constante, temos que:
8 - x = y - 8 ⇒ - x - y = -16 ⇒ x + y = 16 ⇒ x = 16 - y

A razão q da PG se obtém da seguinte forma: 8 = y · q ⇒ q = $\frac8y$

Então, temos que o terceiro termo da PG é: z = 8q = $8\cdot\frac8y$ = $\frac{64}y$

A soma dos termos da PG é 42, ou seja:

$y+8+\frac{64}y=42\Rightarrow\frac{y^2+8y+64}{y}=\frac{42y}y\Rightarrow\\\\ y^2-34y+64=0\Rightarrow\Delta=1156-256=900\Rightarrow\sqrt\Delta=30\\\\ y=\frac{34\pm30}{2}\Rightarrow y_1=\frac{64}2=32\ \text{ e }\ y_2=\frac42=2$

O primeiro termo da PA é, portanto: 

$\begin{cases}x_1=16-y_1=16-32=-16\text{ (negativo)}\ \text{ ou}\\x_2=16-y_2=16-2=14\end{cases}$

Como os termos da PA e da PG são positivos, desprezamos a solução $x_1=-16$ e temos, então, que o primeiro termo da PA é $\boxed{14}.$