Question

A soma dos angulos das faces de um poliedro convexo é 5760 e as faces são apenas triangulos e heptagonos. Quantos são as faces heptagonais, sabendo que há um total de 28 arestas no poliedro ?

Answer 1

Calcular a do heptagono 
Si = 180(n-2) 
Si = 180(7-2) 
Si = 180(5) 
Si = 900º 

180t + 900h = 5760 
t + 5h = 32 
t = 32 - 5h 

Um triangulo tem 3 arestas e um heptagono tem 7, porem cada aresta é compartilhada por duas faces do poliedro 

3x/2 + 7y/2 = 28 
3x + 7y = 56 
3(32 - 5y) + 7y = 56 
96 - 15y + 7y = 56 
-8y = 56 - 96 
y = -40/-8 
y = 5 faces heptagonais

Answer 2

Em todo poliedro convexo, a soma dos ângulos das faces é dada por:

S = ( V - 2) . 360° em que V é o número de vértices do poliedro.
Como a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 5 760° , temos:
S = ( V - 2) . 360°
5 760 ° = ( V - 2) . 360°
V - 2 = 5 760 / 360°
V - 2 = 16
V = 16 + 2
V = 18

Como o poliedro tem faces triangulares , temos:
3 . x = 3 . x arestas.
O poliedro tem faces heptagonais :
7 . y = 7 . y arestas.
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é :
A = 3x + 7y / 2 = 28
A = 3x + 7y = 2.28
A = 3x + 7y = 56
Temos então V = 18 , A = 28.
Aplicando a relação de Euler:
V - A + F = 2
18 - 28 + F = 2
- 10 + F = 2
F = 2 + 10
F = 12
Agora façamos assim:

Seja x o número de faces triangulares e y o número de faces heptagonais. Como temos ao todo 12 faces , segue - se:

X + Y = 12
Do cálculo acima: 3x + 7y = 56
Construindo um sistema de equações do primeiro grau, temos que:

| ) 3x + 7y = 56
|| ) x + y = 12 ➡️ x = 12 - y
Substituindo na equação l ), tem - se:
3 ( 12 - y ) + 7y = 56
36 - 3y + 7y = 56
4y = 56 - 36
4y = 20
y = 20/4
y = 5
Substituindo o valor encontrado na equação

|| ) x + y = 12 ➡️ x = 12 - y
logo x = 12 - 5
X = 7
logo , o poliedro tem 5 faces heptagonais.