Question

Determine o cosseno do angulo formado entre as duas retas

r: (9,4,1) + t(1/2 ,1 ,1)

s:  {3x - 2y + 16 = 0
     {3x = z

Answer 1

$r: (9,4,1) + t( \frac{1}{2} ,1,1)\\\\\\S: \left \{ {{3x-2y+16=0} \atop {3x=z}} \right.$

primeiro temos que achar o vetor diretor da reta S
pra isso..temos que descobrir 2 pontos dessa reta

calculando o primeiro ponto quando x = 0
$3*0-2y+16=0\\\\y= \frac{-16}{-2} \\\\y=8\\\\\\3*0=Z\\\\0=Z$

temos o primeiro ponto que vou chamar de P
$P=(0,8,0)$

calculando outro ponto dessa reta..quando x=2
$3*2-2y+16=0\\\\6+16=2y\\\\ \frac{22}{2} =y\\\\11=y\\\\\\Z=3*2 =6$

$Q=(2,11,6)$

pra descobrir o vetor diretor desa reta é só fazer Q-P
$(2,11,6)-(0,8,0)\\\\PQ=(2,3,6)$


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para achar o angulo entre as retas 
usa a formula
$\boxed{\boxed{ cos\theta= \frac{(AB)*(PQ)}{|AB|*|PQ|} }}$

AB*PQ = o produto escalar entre os vetores diretores
|AB|*|PQ| = o produto entre o modulo dos vetores

o vetor diretor da reta R é :
 $AB= (\frac{1}{2} ,1,1)\\\\|AB|= \sqrt{( \frac{1}{2})^2+1^2+1^2 } = \sqrt{ \frac{9}{4} } = \frac{3}{2}$
;
o vetor diretor da reta S
$PQ=(2,3,6)\\\\|PQ|= \sqrt{2^2+3^2+6^2} =7$

o produto escalar entre os vetores diretores
$( \frac{1}{2},1,1)*(2,3,6)\\\\ (\frac{1}{2} *2)+ 1*3 + 1*6=10$

o produto entre o modulo dos vetores
$\frac{3}{2} *7= \frac{21}{2}=10,5$


aplicando na formula
$cos\theta= \frac{(AB)*(PQ)}{|AB|*|PQ|}\\\\cos\theta= \frac{10}{10,5}\\\\\theta= (\frac{10}{10,5})*arcos\\\\\theta\approx17,7^\circ$